3琉球大学 2023年 数学 第3問解答・解説

空間内に4点 $O(0,0,0)$、$A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ をとる。時刻 $t=0$ から $t=1$ まで3点 $P,Q,R$ は次のように動くものとする。
・$t=0$ に3点は点 $O$ を出発する。
・動点 $P$ は線分 $OA$ 上を速さ $1$ で点 $A$ に向かって動く。
・動点 $Q$ は線分 $OB$ 上を速さ $\dfrac{1}{2}$ で点 $B$ に向かって動く。
・動点 $R$ は線分 $OC$ 上を速さ $2$ で動く。$t=\frac{1}{2}$ までは点 $C$ へ向かって動き、$t=\frac{1}{2}$ 以後は点 $C$ から点 $O$ に向かって動く。
時刻 $t$ における三角形 $PQR$ の面積を $S(t)$ とする。次の問いに答えよ。（50点）
問1 $S(t)$ を求めよ。
問2 $S(t)$ を最大にする $t$ の値を求めよ。