1琉球大学 2023年 数学 第1問解答・解説

関数を定義域 $x>0$ で $y=x^{-a}=e^{-a\log x}$ と書くと、
$$\frac{dy}{dx}=e^{-a\log x}\left(-\frac{a}{x}\right)=-a x^{-a-1},$$
したがって点 $(1,1)$ における接線の傾きは $-a$ である。よって接線は
$$y-1=-a(x-1),\qquad y=-ax+a+1.$$
ここで $a>0$ だから、$x$ 軸との交点および $y$ 軸との交点はそれぞれ
$$A\left(\frac{a+1}{a},0\right),\qquad B(0,a+1)$$
である。したがって三角形 $OAB$ の面積は
$$S(a)=\frac12\cdot\frac{a+1}{a}\cdot(a+1)=\frac{(a+1)^2}{2a}.$$
さらに
$$S(a)=\frac{a^2+2a+1}{2a}=2+\frac{(a-1)^2}{2a}.$$
$a>0$ より $\dfrac{(a-1)^2}{2a}\geqq 0$ であり、等号は $a=1$ のときに成り立つ。よって $S(a)$ の最小値は $2$ で、そのとき $a=1$ である。