4琉球大学 2022年 数学 第4問解答・解説

次の問いに答えよ。（50点）

問1 1から9までの自然数の中から、$1\leqq a_{1}<a_{2}<a_{3}\leqq 9$ を満たすように3つの数を選び、それを $(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$ とする。このような3つの数 $(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$ の選び方のうち、$a_{2}-a_{1}\geqq 3$ かつ $a_{3}-a_{2}\geqq 3$ を満たすものは全部で何通りあるか。

問2 1から50までの自然数の中から、$1\leqq a_{1}<a_{2}<a_{3}\leqq 50$ を満たすように3つの数を選び、それを $(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$ とする。このような3つの数 $(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$ の選び方のうち、$a_{2}-a_{1}\geqq 10$ かつ $a_{3}-a_{2}\geqq 10$ を満たすものは全部で何通りあるか。

問3 1番から20番までの番号が書かれた座席が、図のように円形に並んでいる。この中から、2つ以上の間隔を空けて3つの座席を選ぶ（例えば、1番を選んだときは2番、3番、19番、20番は選べない）。このような3つの座席の選び方は全部で何通りあるか。