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琉球大学／2022年度／前期

1琉球大学 2022年 数学 第1問解答・解説

極限微分法積分法

1問題

琉球大学2022年度第1問
x>0x>0 の範囲で、関数 f(x)f(x) を
f(x)=−1x2+2x f(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}
と定め、y=f(x)y=f(x) で表される曲線を CC とする。次の問いに答えよ。（50点）
問1 f(x)f(x) の極値を求めよ。
問2 曲線 CC の接線で、点 (0,1)(0,1) を通り、傾きが負であるものを ll とする。直線 ll の傾きを求めよ。
問3 曲線 CC と直線 ll で囲まれた部分の面積を求めよ。
（解答は次のページの解答欄に記入すること。）

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    最大値 11（x=1x=1）、極小値はない。
  • (2)
    接線の傾き −427-\dfrac{4}{27}。
  • (3)
    面積 4log⁡2−2184\log 2-\dfrac{21}{8}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

f(x)=−x−2+2x−1f(x)=-x^{-2}+2x^{-1} とすると f′(x)=2(1−x)/x3f'(x)=2(1-x)/x^3。従って ff は 0<x<10<x<1 で増加、x>1x>1 で減少し、x=1x=1 で極大値かつ最大値1をとる。x→0+x\to0+ で f(x)→−∞f(x)\to-\infty なので極小値はない。
接点を (a,f(a))(a,f(a)) とすれば切片条件は f(a)−af′(a)=1f(a)-af'(a)=1、すなわち a2−4a+3=0a^2-4a+3=0。根 a=1,3a=1,3 のうち負傾きの条件に合うのは a=3a=3 だけで、傾きは f′(3)=−4/27f'(3)=-4/27、接線は y=1−4x/27y=1-4x/27。
f(x)−(1−4x27)=(x−3)2(4x−3)27x2.f(x)-\left(1-\frac{4x}{27}\right)=\frac{(x-3)^2(4x-3)}{27x^2}.
交点は x=3/4,3x=3/4,3 で、その間は曲線が上にある。よって
S=∫3/43(f(x)−1+4x27)dx=[1x+2log⁡x−x+2x227]3/43=4log⁡2−218.S=\int_{3/4}^3\left(f(x)-1+\frac{4x}{27}\right)dx=\left[\frac1x+2\log x-x+\frac{2x^2}{27}\right]_{3/4}^3=4\log2-\frac{21}{8}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 増減表
  • 接線の切片条件
  • 差の因数分解と面積積分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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