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2 琉球大学 2022年 数学 第2問解答・解説 数列
1 問題2 答え3 解答1 問題琉球大学 2022 年度第2問
d d d と
n n n を正の整数とする。1から
n n n までの
d d d 乗の和を
S d ( n ) = 1 d + 2 d + ⋯ + n d
S_d(n)=1^d+2^d+\cdots+n^d
S d ( n ) = 1 d + 2 d + ⋯ + n d とおく。次の問いに答えよ。（50点）
問1 すべての正の整数
n n n について、
S 3 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 4 S_3(n)=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} S 3 ( n ) = 4 n 2 ( n + 1 ) 2 が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。
問2 恒等式
k 3 ( k + 1 ) 3 − ( k − 1 ) 3 k 3 = 6 k 5 + 2 k 3
k^{3}(k+1)^{3}-(k-1)^{3}k^{3}=6k^{5}+2k^{3}
k 3 ( k + 1 ) 3 − ( k − 1 ) 3 k 3 = 6 k 5 + 2 k 3 を利用して、
S 5 ( n ) S_5(n) S 5 ( n ) を求めよ。
問3 すべての正の整数
n n n について、
24 S 7 ( n ) 24S_7(n) 24 S 7 ( n ) は整数
n 2 ( n + 1 ) 2 n^{2}(n+1)^{2} n 2 ( n + 1 ) 2 で割り切れることを示せ。
（解答は次のページの解答欄に記入すること。）
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる 問1
S 3 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 4 S_3(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} S 3 ( n ) = 4 n 2 ( n + 1 ) 2 。問2
S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) 12 S_5(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12} S 5 ( n ) = 12 n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) 。問3
24 S 7 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) 24S_7(n)=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2) 24 S 7 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) 。
3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 S d ( n ) = ∑ j = 1 n j d S_d(n)=\sum_{j=1}^{n} j^d S d ( n ) = ∑ j = 1 n j d とする。
問1 n = 1 n=1 n = 1 では
S 3 ( 1 ) = 1 = 1 2 ⋅ 2 2 / 4 S_3(1)=1=1^2\cdot2^2/4 S 3 ( 1 ) = 1 = 1 2 ⋅ 2 2 /4 。
S 3 ( k ) = k 2 ( k + 1 ) 2 / 4 S_3(k)=k^2(k+1)^2/4 S 3 ( k ) = k 2 ( k + 1 ) 2 /4 と仮定すると
S 3 ( k + 1 ) = S 3 ( k ) + ( k + 1 ) 3 = ( k + 1 ) 2 4 { k 2 + 4 ( k + 1 ) } = ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 .
\begin{aligned}
S_3(k+1)&=S_3(k)+(k+1)^3\\
&=\frac{(k+1)^2}{4}\{k^2+4(k+1)\}
=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.
\end{aligned}
S 3 ( k + 1 ) = S 3 ( k ) + ( k + 1 ) 3 = 4 ( k + 1 ) 2 { k 2 + 4 ( k + 1 )} = 4 ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 . S 3 ( k + 1 ) = S 3 ( k ) + ( k + 1 ) 3 = 4 ( k + 1 ) 2 { k 2 + 4 ( k + 1 )} = 4 ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 . よって数学的帰納法により、すべての正整数
n n n で
S 3 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 / 4 S_3(n)=n^2(n+1)^2/4 S 3 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 /4 。
問2 問題で与えられた恒等式
k 3 ( k + 1 ) 3 − ( k − 1 ) 3 k 3 = 6 k 5 + 2 k 3
k^3(k+1)^3-(k-1)^3k^3=6k^5+2k^3
k 3 ( k + 1 ) 3 − ( k − 1 ) 3 k 3 = 6 k 5 + 2 k 3 を
k = 1 , … , n k=1,\ldots,n k = 1 , … , n について加えると、左辺は望遠和となるので
n 3 ( n + 1 ) 3 = 6 S 5 ( n ) + 2 S 3 ( n ) .
n^3(n+1)^3=6S_5(n)+2S_3(n).
n 3 ( n + 1 ) 3 = 6 S 5 ( n ) + 2 S 3 ( n ) . 問1を代入すれば
6 S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 2 { 2 n ( n + 1 ) − 1 } , S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) 12 .
6S_5(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{2}\{2n(n+1)-1\},\qquad
S_5(n)=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}.
6 S 5 ( n ) = 2 n 2 ( n + 1 ) 2 { 2 n ( n + 1 ) − 1 } , S 5 ( n ) = 12 n 2 ( n + 1 ) 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) . 問3 各正整数
k k k について
k 4 ( k + 1 ) 4 − ( k − 1 ) 4 k 4 = k 4 { ( k + 1 ) 4 − ( k − 1 ) 4 } = 8 k 7 + 8 k 5 .
k^4(k+1)^4-(k-1)^4k^4=k^4\{(k+1)^4-(k-1)^4\}=8k^7+8k^5.
k 4 ( k + 1 ) 4 − ( k − 1 ) 4 k 4 = k 4 {( k + 1 ) 4 − ( k − 1 ) 4 } = 8 k 7 + 8 k 5 . これを
k = 1 , … , n k=1,\ldots,n k = 1 , … , n で加えると
n 4 ( n + 1 ) 4 = 8 S 7 ( n ) + 8 S 5 ( n ) .
n^4(n+1)^4=8S_7(n)+8S_5(n).
n 4 ( n + 1 ) 4 = 8 S 7 ( n ) + 8 S 5 ( n ) . 従って問2の式から
24 S 7 ( n ) = 3 n 4 ( n + 1 ) 4 − 24 S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 { 3 n 2 ( n + 1 ) 2 − 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 ) } = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) .
\begin{aligned}
24S_7(n)&=3n^4(n+1)^4-24S_5(n)\\
&=n^2(n+1)^2\{3n^2(n+1)^2-2(2n^2+2n-1)\}\\
&=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2).
\end{aligned}
24 S 7 ( n ) = 3 n 4 ( n + 1 ) 4 − 24 S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 { 3 n 2 ( n + 1 ) 2 − 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 )} = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) . 24 S 7 ( n ) = 3 n 4 ( n + 1 ) 4 − 24 S 5 ( n ) = n 2 ( n + 1 ) 2 { 3 n 2 ( n + 1 ) 2 − 2 ( 2 n 2 + 2 n − 1 )} = n 2 ( n + 1 ) 2 ( 3 n 4 + 6 n 3 − n 2 − 4 n + 2 ) . 括弧内は整数なので、求める整除性が従う。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
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