4大阪公立大学 2025年 数学 第4問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第4問

(1)

直線 $PQ$ の方程式を
$$x\cos\frac\alpha2+y\sin\frac\alpha2=\cos\frac\alpha2$$
とする。点 $P(1,0)$ はこの式を満たし、点 $Q(\cos\alpha,\sin\alpha)$ についても
$$\cos\alpha\cos\frac\alpha2+\sin\alpha\sin\frac\alpha2 =\cos\left(\alpha-\frac\alpha2\right)=\cos\frac\alpha2$$
となるので、確かに直線 $PQ$ の式である。係数から原点とこの直線の距離は
$$\frac{\left|\cos\frac\alpha2\right|} {\sqrt{\cos^2\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2}} =\boxed{\cos\frac\alpha2},$$
ここで $0<\alpha<\pi$ より $\cos(\alpha/2)>0$。

(2)

積和公式により
$$\begin{aligned} f(\theta)\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right) &=2\cos\theta\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right) -\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right)\\ &=\cos\left(2\theta-\frac\alpha2\right) +\cos\frac\alpha2-\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right)\\ &=\cos\frac\alpha2 -2\sin\frac\theta2\sin\frac{3\theta-\alpha}{2}. \end{aligned}$$$$f(\theta )\cos \left(\theta -\frac{\alpha }{2}\right)=2\cos \theta \cos \left(\theta -\frac{\alpha }{2}\right)-\cos \left(\theta -\frac{\alpha }{2}\right)$$$$=\cos \left(2\theta -\frac{\alpha }{2}\right)+\cos \frac{\alpha }{2}-\cos \left(\theta -\frac{\alpha }{2}\right)$$$$=\cos \frac{\alpha }{2}-2\sin \frac{\theta }{2}\sin \frac{3\theta -\alpha }{2}.$$
最後は $\cos U-\cos V=-2\sin\frac{U+V}{2}\sin\frac{U-V}{2}$ に
$U=2\theta-\frac\alpha2$、$V=\theta-\frac\alpha2$ を代入した。

(3)

$0<t<\frac\pi3$ では $\cos t>\frac12$ なので $f(t)=2\cos t-1>0$。曲線上の点は
$$(x,y)=f(t)(\cos t,\sin t)$$
であり、その原点からの距離は正、偏角は $t$ である。

問1の直線方程式にこの座標を代入すると、共有点となる条件は
$$f(t)\cos\left(t-\frac\alpha2\right)=\cos\frac\alpha2.$$
問2の恒等式によってこれは
$$\sin\frac t2\,\sin\frac{3t-\alpha}{2}=0$$
と同値。$0<t<\frac\pi3$ より $0<t/2<\pi/6$ なので $\sin(t/2)>0$。また $0<3t<\pi$、$0<\alpha<\pi$ から
$$-\frac\pi2<\frac{3t-\alpha}{2}<\frac\pi2.$$
この範囲で第2の正弦が0になるのは $(3t-\alpha)/2=0$ のときだけであり、$t=\alpha/3$。さらに $0<\alpha<\pi$ なので $0<\alpha/3<\pi/3$。従って許される媒介変数はただ1つで、直線と曲線は1点のみを共有する。

共有点 $R$ では偏角が $t=\alpha/3$ である。$OP$ は正の $x$ 軸方向であり $R$ の偏角はこの範囲にあるから
$$\boxed{\angle POR=\frac\alpha3}.$$