1岡山大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $11=3\cdot3+2$、$3=2\cdot1+1$ より
$$1=3-(11-3\cdot3)=4\cdot3-11=3\cdot4+11\cdot(-1).$$
したがって、例えば $(x,y)=(4,-1)$ は整数解である。

(2) $3x+11y=1000$ なので、$11$ で割った余りに注目すると $3x\equiv1000\equiv10\pmod{11}$。(1) の $4\cdot3-11=1$ より $4\cdot3\equiv1\pmod{11}$ だから、両辺に $4$ を掛けて $x\equiv40\equiv7\pmod{11}$。よって整数 $k$ を用いて $x=7+11k$ と書ける。これを元の式に代入すると
$$y=\dfrac{1000-3(7+11k)}{11}=89-3k.$$
逆に、任意の整数 $k$ に対し $3(7+11k)+11(89-3k)=1000$ である。したがって整数解はすべて $(x,y)=(7+11k,\,89-3k)$（$k$ は整数）である。

(3) $x,y$ が自然数ならば非負整数なので、上の表示から $7+11k\geqq0$、$89-3k\geqq0$。$k$ は整数だから $0\leqq k\leqq29$。この範囲では $x=7+11k\geqq7$、$y=89-3k\geqq2$ であり、正の整数を自然数とする場合にも全て条件を満たす。また $x-y=14k-82$ だから $-82\leqq x-y\leqq324$、よって $|x-y|\leqq324$。$k=29$ のとき $(x,y)=(326,2)$、$|x-y|=324$ となるので、最大値は $324$ である。