3岡山大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $a^2+b^2=4$ に注意する。点 $(x,y)$ が線分 $AP$ の垂直二等分線上にある条件は
$$(x-4)^2+y^2=(x-a)^2+(y-b)^2.$$
展開して整理すると
$$\boxed{\ell_P:\ (4-a)x-by=6}.$$
$|a|\leqq2$ より $4-a\ne0$ なので、これは常に直線を表す。

(2) $OP$ の方向ベクトルは $(a,b)$、$\ell_P$ の法線ベクトルは $(4-a,-b)$。
平行となる条件は
$$(a,b)\cdot(4-a,-b)=4a-a^2-b^2=4a-4=0.$$
よって $a=1$、円の式から $b=\pm\sqrt3$。
$O$ は $\ell_P$ 上にないため、二直線が一致することはなく、
$$\boxed{P=(1,\sqrt3),\ (1,-\sqrt3)}.$$

(3) $Q=t(a,b)$ とおいて (1) に代入すると
$$t(4a-a^2-b^2)=6,\qquad t=\frac3{2(a-1)}\quad(a\ne1).$$
したがって $Q=(x,y)$ は
$$x=\frac{3a}{2(a-1)},\qquad y=\frac{3b}{2(a-1)}.$$
このとき $2x-3=3/(a-1)\ne0$ だから
$$a=\frac{2x}{2x-3},\qquad b=\frac{2y}{2x-3}.$$
円の条件 $a^2+b^2=4$ に代入すると
$$x^2+y^2=(2x-3)^2, \qquad \boxed{(x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1}.$$
逆も確認する。 この双曲線上では $|x-2|\geqq1$ なので $x\leqq1$ または $x\geqq3$、特に $2x-3\ne0$。
上の式で $a,b$ を定めれば $a^2+b^2=4$ であり、
$$a-1=\frac3{2x-3}\ne0.$$
この $P$ に対して $OP$ と $\ell_P$ の交点を計算すると、もとの $(x,y)$ に戻る。
よって双曲線全体が軌跡であり、除く点はない。
中心は $(2,0)$、頂点は $(1,0),(3,0)$、漸近線は
$$y=\pm\sqrt3(x-2)$$
である。下図の青い2本の曲線が軌跡で、破線は漸近線である。