4岡山大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)

三角形の内角を $A$、$B$、$C$ とすると、$B=C=\theta$、$A=\pi-2\theta$ である。図の領域 $Z$ は、各辺の外側に幅 1 の長方形を付け、各頂点の外側に半径 1 の扇形を付けたものに分けられる。長方形の面積の和は三角形の周の長さであり、扇形の中心角の和は
$$(\pi-A)+(\pi-B)+(\pi-C)=2\pi$$
なので、扇形の面積の和は $\pi$ である。また、底辺 $\mathrm{BC}=6\cos\theta$ である。したがって
$$S_{1}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}+\pi=6+6\cos\theta+\pi.$$

(2)

三角形の高さは $3\sin\theta$ だから、面積は $\dfrac{1}{2}(6\cos\theta)(3\sin\theta)=9\sin\theta\cos\theta$、半周長は $3(1+\cos\theta)$ である。内接円の半径は面積を半周長で割ったものなので、
$$r(\theta)=\dfrac{3\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta}.$$

(3)

$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とおいて微分すると、
$$r'(\theta)=3\dfrac{(c^{2}-s^{2})(1+c)+s^{2}c}{(1+c)^{2}} =3\dfrac{c^{3}+2c^{2}-1}{(1+c)^{2}}.$$
$0<\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ では $c>0$ かつ $2c^{2}-1\geqq0$ だから、分子 $c^{3}+(2c^{2}-1)$ は正である。よって $r$ は増加し、最大値は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で
$$r\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{3}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{3(2-\sqrt{2})}{2}$$
である。

(4)

$\dfrac{3}{2+\sqrt{2}}<1$ なので、区間全体で $0<r(\theta)<1$ である。したがって $S_{2}=\pi r(\theta)^{2}<\pi$ である。一方、$\cos\theta>0$ より $S_{1}=\pi+6+6\cos\theta>\pi$ である。ゆえに $S_{1}>S_{2}$ である。