白衣のものさし横浜市立大学／2026年度／前期
II横浜市立大学 2026年 数学 第II問解答・解説
1問題
横浜市立大学2026年度第II問
4桁の自然数について、次の各問いに答えなさい。ただし、4桁の自然数というときには、千の位の数が0でない数のみを考えることにします。
また、以下において、各桁の数が0, 2, 6のいずれかの数字のみからなる4桁の自然数を便宜的に「2026のような数」と呼ぶことにします。たとえば、2026や2000などは「2026のような数」ですが、2016は「2026のような数」ではありません。
(1) 「2026のような数」は全部で何個あるか答えなさい。
(2) 0, 2, 6をそれぞれちょうど1つずつ含むような4桁の自然数を考えます。たとえば、2016や9602はそのような数の一例ですが、2026や2025などはそのような数ではありません。このような0, 2, 6をそれぞれちょうど1つずつ含むような4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
(3) 「2026のような数」であって、0, 2, 6のうちいずれか2種類の数字のみが現れるような4桁の自然数を考えます。たとえば、2000や2626などはそのような数の一例ですが、2222や2026などはそのような数ではありません。このような「2026のような数」であって、0, 2, 6のうちいずれか2種類の数字のみが現れるような4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
(4) 0, 2, 6のいずれも1回以上現れる4桁の自然数を考えます。たとえば、2026や2016はそのような数ですが、2000などは6が現れないためそのような数ではありません。このような0, 2, 6のいずれも1回以上現れる4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
また、以下において、各桁の数が0, 2, 6のいずれかの数字のみからなる4桁の自然数を便宜的に「2026のような数」と呼ぶことにします。たとえば、2026や2000などは「2026のような数」ですが、2016は「2026のような数」ではありません。
(1) 「2026のような数」は全部で何個あるか答えなさい。
(2) 0, 2, 6をそれぞれちょうど1つずつ含むような4桁の自然数を考えます。たとえば、2016や9602はそのような数の一例ですが、2026や2025などはそのような数ではありません。このような0, 2, 6をそれぞれちょうど1つずつ含むような4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
(3) 「2026のような数」であって、0, 2, 6のうちいずれか2種類の数字のみが現れるような4桁の自然数を考えます。たとえば、2000や2626などはそのような数の一例ですが、2222や2026などはそのような数ではありません。このような「2026のような数」であって、0, 2, 6のうちいずれか2種類の数字のみが現れるような4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
(4) 0, 2, 6のいずれも1回以上現れる4桁の自然数を考えます。たとえば、2026や2016はそのような数ですが、2000などは6が現れないためそのような数ではありません。このような0, 2, 6のいずれも1回以上現れる4桁の自然数は全部で何個あるか答えなさい。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
タイマー
15:00
2答え
答えを見る自分の答えと照らし合わせる
- (1)54個
- (2)126個
- (3)28個
- (4)150個
3解答
解答を見る途中式つきの解答
解答
(1)「2026のような数」は、各桁が0,2,6のいずれかである。千の位は2または6の2通り、残り3桁は各3通りだから、個。
(2) 0,2,6をそれぞれちょうど1回含む。0,2,6以外の残りの1つの数字は、1,3,4,5,7,8,9の7通りから選ぶ。4つの異なる数字を並べる方法は 通りだが、千の位が0となる 通りは4桁でなくなるので除く。したがって 個。
(3)「2026のような数」で、0,2,6のうちちょうど2種類を使う。使う2種類で場合分けする。0,2を使う場合、千の位は2に決まり、残る3桁は0,2のどちらか。ただし0が少なくとも1回必要なので 個。0,6の場合も同様に7個。2,6の場合は千の位制約がなく、通りから2222と6666を除くので 個。合計 個。
(4) この小問は「2026のような数」とは指定せず、0,2,6がそれぞれ1回以上現れる4桁の自然数を数える。4桁のうち3種類を少なくとも1回使うので、余分な1桁によって場合分けする。余分な数字が0のときは 数字 0,0,2,6 を並べる方法 通りから、千の位が0の 通りを除いて6個。余分な数字が2なら 個、6でも9個。余分な数字が0,2,6以外なら7通りあり、4つの異なる数字の並べ方から千の位が0のものを除き、 個。したがって 個。
(2) 0,2,6をそれぞれちょうど1回含む。0,2,6以外の残りの1つの数字は、1,3,4,5,7,8,9の7通りから選ぶ。4つの異なる数字を並べる方法は 通りだが、千の位が0となる 通りは4桁でなくなるので除く。したがって 個。
(3)「2026のような数」で、0,2,6のうちちょうど2種類を使う。使う2種類で場合分けする。0,2を使う場合、千の位は2に決まり、残る3桁は0,2のどちらか。ただし0が少なくとも1回必要なので 個。0,6の場合も同様に7個。2,6の場合は千の位制約がなく、通りから2222と6666を除くので 個。合計 個。
(4) この小問は「2026のような数」とは指定せず、0,2,6がそれぞれ1回以上現れる4桁の自然数を数える。4桁のうち3種類を少なくとも1回使うので、余分な1桁によって場合分けする。余分な数字が0のときは 数字 0,0,2,6 を並べる方法 通りから、千の位が0の 通りを除いて6個。余分な数字が2なら 個、6でも9個。余分な数字が0,2,6以外なら7通りあり、4つの異なる数字の並べ方から千の位が0のものを除き、 個。したがって 個。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
この問題で使う考え方
- 積の法則
- 和の法則
- 順列
- 重複する数字を含む並べ方
- 千の位が0になる場合の除外
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。
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