2名古屋市立大学 2026年 数学 第2問解答・解説

対向面の3組を基準に、単色にする組数で場合分けする。完全に異なる色を使う場合は回転数で割り、他の場合は色の選び方と回転で同一視される面配置を数える。

正六面体の面を、互いに反対側にある2面ずつ、3組に分ける。異なる組に属する面どうしは必ず辺をはさんで隣り合うので、同じ色を使えるのは同じ対向面の組の中だけである。各組では、2面を同色にするか、異なる2色にするかのいずれかである。単色にする対向面の組を$r$組とすると、使用色数は$6-r$色となる。

(1) 6色すべてを使うには、3組すべてで2面を異なる色にしなければならない。6面に6色を割り当てた塗り方は$6!=720$通りである。正六面体の回転は、ある面の行き先を6通り、その面に隣り合う指定の面の行き先を4通りに選ぶと定まるため、全部で$6\cdot4=24$通りある。6面の色がすべて異なるので、塗り方を保つ回転は各面を固定し、したがって恒等回転だけである。よって回転で一致するものをまとめると、
$$\frac{6!}{24}=30$$
通りである。

(2) $r=0,1,2,3$に分ける。

$r=0$の場合は(1)と同じで、$30$通りである。

$r=1$の場合、同色にする対向面の色を6通り、使わない色を残りから5通り選ぶ。残る4面には、残りの4色を1色ずつ塗る。回転で同じ対向面の組を所定の位置に置くと、その位置を保つ回転は周囲の4面を正方形の対称移動と同じ8通りに動かす。4面の色はすべて異なるので、この8通りはどの並べ方も異なる並べ方に移す。したがって、周囲の並べ方の同値類は
$$\frac{4!}{8}=3$$
通りであり、この場合は
$$6\cdot5\cdot3=90$$
通りである。

$r=2$の場合、同色にする2組の色を6色から選ぶ方法は${}_{6}\mathrm{C}_{2}$通りである。残る1組の対向面は異なる2色で塗るので、その色の組は残り4色から${}_{4}\mathrm{C}_{2}$通りに選ぶ。回転により3組の位置を入れ替えられ、異色にした対向面の2色の向きも入れ替えられるため、これらの色の選び方ごとに同値類は1つである。よって
$${}_{6}\mathrm{C}_{2}\,{}_{4}\mathrm{C}_{2}=90$$
通りである。

$r=3$の場合は3組すべてを同色にする。使う3色を6色から選ぶと${}_{6}\mathrm{C}_{3}$通りである。回転で3組の位置を任意に入れ替えられるので、同じ3色の選び方から生じる塗り方はすべて一致する。したがって
$${}_{6}\mathrm{C}_{3}=20$$
通りである。

以上を合計すると、
$$30+90+90+20=230$$
通りである。