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新潟大学／2024年度

3新潟大学 2024年 数学 第3問解答・解説

図形と方程式ベクトル

1問題

新潟大学2024年度第3問
座標空間において、3点A(1,0,0)、B(0,-1,0)、C(0,0,-2)の定める平面をαとし、方程式x2+y2+z2+2x−10y+4z+21=0x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-10y+4z+21=0が表す球面をSとする。次の問いに答えよ。

(1) 球面Sの中心Pの座標とSの半径を求めよ。

(2) 実数s,tに対して、点DをAD→=sAB→+tAC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}を満たすようにとる。このとき、Dの座標をs,tを用いて表せ。

(3) 点Qが平面α上を動き、点Rが球面S上を動くとき、QとRの距離の最小値を求めよ。また、そのときのQとRの座標をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    P=(−1,5,−2),r=3.P=(−1,5,−2), r=3.
  • (2)
    D=(1−s−t,−s,−2t).D=(1−s−t,−s,−2t).
  • (3)
    最小値 1。Q=(5/3,7/3,−10/3)、R=(1,3,−3)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) (x+1)2+(y−5)2+(z+2)2=9(x+1)^2+(y-5)^2+(z+2)^2=9より、中心は(−1,5,−2)(-1,5,-2)、半径は3である。(2) D=(1−s−t,−s,−2t)D=(1-s-t,-s,-2t)である。(3) 平面の方程式はα:2x−2y−z−2=0\alpha:2x-2y-z-2=0であり、法線ベクトルはn⃗=(2,−2,−1)\vec{n}=(2,-2,-1)。中心から平面に下ろした垂線の足はQ=(53,73,−103)Q=(\frac53,\frac73,-\frac{10}3)で、中心と平面の距離は44である。R=(1,3,−3)R=(1,3,-3)とするとQR=1QR=1となり、三角不等式によってこれが最小値であることを示せる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 平方完成
  • 法線ベクトル
  • 垂足
  • 三角不等式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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