1大分大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $X=\log_2x$, $Y=\log_2y$ とおく。対数の性質から
$$\log_2\frac{y^2}{2\sqrt2x^2}=2Y-2X-\frac32,$$
したがって
$$\boxed{X^2+Y^2\leqq2Y-2X-\frac32}.$$

(2) 平方完成すると
$$\boxed{(X+1)^2+(Y-1)^2\leqq\frac12}.$$
よって、求める領域は中心 $(-1,1)$、半径 $1/\sqrt2$ の円の内部と周である。図示すると次のとおり。

(3) $u=X+1$, $v=Y-1$ とおけば $u^2+v^2\leqq1/2$ であり、$X+Y=u+v$ だから
$$X+Y=u+v\geqq-\sqrt{2}\sqrt{u^2+v^2}\geqq-1.$$
従って $xy=2^{X+Y}\geqq1/2$。等号は $u=v=-1/2$、すなわち $X=-3/2$, $Y=1/2$ で成立する。よって
$$\boxed{\min xy=\frac12,\qquad x=2^{-3/2}=\frac1{2\sqrt2},\quad y=2^{1/2}=\sqrt2}.$$

平方完成で条件を $XY$ 平面の円盤として表す。円盤内で $X+Y$ を$2(u^2+v^2)-(u+v)^2=(u-v)^2\geqq0$ から得られる不等式で下から評価し、底 $2$ の指数関数の増加性から積 $xy$ の最小値を得る。等号条件も円盤内で実現する。