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新潟大学／2024年度

6新潟大学 2024年 数学 第6問解答・解説

いろいろな式微分・積分の考え積分法平面上の曲線と複素数平面

1問題

新潟大学2024年度第6問
実数tに対して、複素数zを次の条件(I)、(II)を満たすようにとる。
(I) zの虚部は0以上である。
(II) z2−2t3z+t6+9t2=0z^{2}-2t^{3}z+t^{6}+9t^{2}=0
このzzに対して、複素数wwをw=iz‾w=i\overline{z}とおく。ただし、iは虚数単位とし、zˉ\bar{z}はzの共役複素数とする。次の問いに答えよ。

(1) 複素数zとwをtを用いて表せ。

(2) 0≦t≦2のとき、|z−w|の最大値を求めよ。また、そのときのtの値をすべて求めよ。

(3) 実数tを動かしたとき、複素数平面上でzが表す点が描く曲線をC₁とし、wが表す点が描く曲線をC₂とする。C₁とC₂で囲まれる図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    z=t3+3i∣t∣z=t³+3i|t|、w=3∣t∣+it3w=3|t|+it³。
  • (2)
    最大値222\sqrt{2}、t=1, 2t=1,\,2。
  • (3)
    面積272\dfrac{27}{2}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(2) 0≦t≦20\leqq t\leqq2 だから ∣t∣=t|t|=t であり、
∣z−w∣=2 ∣t3−3t∣. |z-w|=\sqrt2\,|t^3-3t|.
g(t)=t3−3tg(t)=t^3-3t とおくと g′(t)=3(t2−1)g'(t)=3(t^2-1)。よって gg は 0≦t≦10\leqq t\leqq1 で減少し、1≦t≦21\leqq t\leqq2 で増加する。g(0)=0, g(1)=−2, g(2)=2g(0)=0,\ g(1)=-2,\ g(2)=2 なので、∣g∣|g| の最大値は2であり、等号は t=1,2t=1,2 で成立する。求める最大値は 222\sqrt2。

(3) 複素平面の座標を (x,y)(x,y) とする。C1C_1 は
(x,y)=(t3,3∣t∣),y=3∣x∣1/3. (x,y)=(t^3,3|t|),\qquad y=3|x|^{1/3}.
C2C_2 は
(x,y)=(3∣t∣,t3),x≧0,y=±x327. (x,y)=(3|t|,t^3),\qquad x\geqq0,\quad y=\pm\frac{x^3}{27}.
交点は原点と、第1象限で 3x1/3=x3/273x^{1/3}=x^3/27 を満たす点である。後者は
x=33,y=33. x=3\sqrt3,\qquad y=3\sqrt3.
したがって囲まれた部分は原点とこの交点の間の第1象限の二つの弧にはさまれる。

C1C_1 の弧を (x,y)=(t3,3t)(x,y)=(t^3,3t)、0≦t≦30\leqq t\leqq\sqrt3 と表すと、その下の面積は
∫033t d(t3)dt dt=∫039t3 dt=814. \int_0^{\sqrt3}3t\,\frac{d(t^3)}{dt}\,dt =\int_0^{\sqrt3}9t^3\,dt=\frac{81}{4}.
C2C_2 の上側の弧を (x,y)=(3s,s3)(x,y)=(3s,s^3)、0≦s≦30\leqq s\leqq\sqrt3 と表すと、その下の面積は
∫03s3 d(3s)ds ds=∫033s3 ds=274. \int_0^{\sqrt3}s^3\,\frac{d(3s)}{ds}\,ds =\int_0^{\sqrt3}3s^3\,ds=\frac{27}{4}.
差を取ると、囲まれた面積は
814−274=272. \boxed{\frac{81}{4}-\frac{27}{4}=\frac{27}{2}}.
答え
(1) z=t3+3i∣t∣, w=3∣t∣+it3z=t^3+3i|t|,\ w=3|t|+it^3。　
(2) 最大値 222\sqrt2、t=1,2t=1,2。　
(3) 面積 27/227/2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 複素数の平方完成・共役
  • 導関数による増減
  • 媒介変数による面積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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