4新潟大学 2024年 数学 第4問解答・解説

各球の行先は、他の球と独立に、$k$ 個の箱から等確率で選ばれるものとして解く。以下では各ボールの行き先は独立に $k$ 通りから等確率で選ばれるので、全結果数は $k^{n}$ である。

(1)

箱 1 に入らない確率は、各ボールについて $\dfrac{4}{5}$ である。したがって
$$P(a_{1}=0)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}=\dfrac{256}{625}.$$

(2)

$E_{i}=\{a_{i}=0\}$ とおくと、求める事象は $E_{1}$ または $E_{2}$ である。各箱を避ける確率と両方を避ける確率から
$$P(E_{1})=P(E_{2})=\left(\dfrac{k-1}{k}\right)^{n},\qquad P(E_{1}\cap E_{2})=\left(\dfrac{k-2}{k}\right)^{n}.$$
よって確率の加法法則より
$$P(a_{1}a_{2}=0)=P(E_{1}\cup E_{2})=\dfrac{2(k-1)^{n}-(k-2)^{n}}{k^{n}}.$$
ここで $n\geqq 1$ なので、$k=2$ のときも $(k-2)^{n}=0$ である。

(3)

$A_{i}=\{a_{i}=0\}$ とする。指定した $j$ 個の箱が空となる割当ては $(4-j)^{n}$ 通りだから、包除原理により、全箱に少なくとも 1 個入る割当て数は
$$4^{n}-{}_{4}\mathrm{C}_{1}\,3^{n}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}\,2^{n}-{}_{4}\mathrm{C}_{3}\,1^{n}+{}_{4}\mathrm{C}_{4}\,0^{n} =4^{n}-4\cdot 3^{n}+6\cdot 2^{n}-4.$$
空箱がちょうど $m$ 個ある配置は、差し引きの式に $1-{}_{m}\mathrm{C}_{1}+{}_{m}\mathrm{C}_{2}-\cdots+(-1)^{m}{}_{m}\mathrm{C}_{m}=(1-1)^{m}=0$ 回分残り、空箱のない配置だけが 1 回分残る。これが上の数え方の根拠である。$n\geqq 1$ より $0^{n}=0$。全割当て数は $4^{n}$ なので
$$p_{n}=\dfrac{4^{n}-4\cdot 3^{n}+6\cdot 2^{n}-4}{4^{n}} =1-4\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-4\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}.$$

(4)

上式から
$$p_{n+1}-p_{n}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+3\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n},$$
したがって
$$r^{n}(p_{n+1}-p_{n})=\left(\dfrac{3r}{4}\right)^{n}-3\left(\dfrac{r}{2}\right)^{n}+3\left(\dfrac{r}{4}\right)^{n}.$$
$0<r<\dfrac{4}{3}$ なら 3 つの等比数列はいずれも 0 に収束する。$r=\dfrac{4}{3}$ のときは右辺が
$$1-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\longrightarrow 1$$
となる。一方、$r>\dfrac{4}{3}$ とし $q=\dfrac{3r}{4}>1$ とおくと、右辺は
$$q^{n}\left\{1-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}\longrightarrow+\infty$$
となる。よって収束する $r$ の範囲は
$$0<r\leqq\dfrac{4}{3}.$$