1名古屋大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $f'(x)=(x-2)/(2x^{3/2})$ だから $0<x<2$ で減少，$x>2$ で増加。最小値は $f(2)=2\sqrt2$。

(2) $x=u>0$ での接線のx切片を $t$ とすると
$$t=u-\frac{f(u)}{f'(u)}=\frac{u(u+6)}{2-u}\quad(u\ne2).$$
$0<u<2$ ではこの式は0から $+\infty$ まで単調増加し，各 $t>0$ に接点が1つある。$u>2$ では導関数の符号が $(6-u)(u+2)$ と同じなので，$t$ は $-\infty$ から $-18$ まで増え，その後 $-\infty$ に減る。従って $t<-18$ なら接点が2つ，$t=-18$ なら1つ，$-18<t\leqq0$ なら0，$t>0$ なら1つ。よって必要十分条件は $t<-18$。

(3) 接点 $u=\alpha,\beta$ は同じ切片値 $t$ をもつ。方程式 $u(u+6)=t(2-u)$ の二根の和と積を用いると $\alpha+\beta=-t-6$, $\alpha\beta=-2t$。消去して $(\alpha-2)(\beta-2)=16$。整数で $2<\alpha<\beta$ なので，16の異なる正の因数対は $(1,16),(2,8)$。従って $(\alpha,\beta)=(3,18),(4,10)$。対応する切片はそれぞれ $-27,-20$ で確かに $<-18$。