4名古屋大学 2024年 数学 第4問解答・解説

復元抽出なので、赤玉の回数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n,\,p)$ に従い、$f(k)=P(X\geqq k)$ である。

(1)

$X=0$ の確率は $(1-p)^{n}$、$X=1$ の確率は $np(1-p)^{n-1}$ だから、
$$f(1)=1-(1-p)^{n},\qquad f(2)=1-(1-p)^{n}-np(1-p)^{n-1}.$$

(2)

$T_{k}(p)=\displaystyle\sum_{j=k}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{j}\,p^{j}(1-p)^{n-j}$ とおく。$j\,{}_{n}\mathrm{C}_{j}=n\,{}_{n-1}\mathrm{C}_{j-1}$、$(n-j)\,{}_{n}\mathrm{C}_{j}=n\,{}_{n-1}\mathrm{C}_{j}$ を使って微分すると、隣り合う項が相殺され、
$$T_{k}'(p)=n\,{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\,p^{k-1}(1-p)^{n-k}=\dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\,p^{k-1}(1-p)^{n-k}.$$
また $T_{k}(0)=0$ である。したがって $0$ から $p$ まで積分して、
$$f(k)=T_{k}(p)=\dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\int_{0}^{p}x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx.$$

(3)

被積分関数は、$x$ を $1-x$ に対応させても変わらない（対称である）から、
$$I=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{k}(1-x)^{k}\,dx.$$
右辺の積分を $J_{k}$ とおく。部分積分を繰り返すと、
$$J_{k}=\dfrac{k}{k+1}\int_{0}^{1}x^{k-1}(1-x)^{k+1}\,dx=\dfrac{k!}{(k+1)(k+2)\cdots(2k)}\int_{0}^{1}(1-x)^{2k}\,dx=\dfrac{(k!)^{2}}{(2k+1)!}.$$
よって $I=\dfrac{(k!)^{2}}{2\,(2k+1)!}$ である。