3名古屋大学 2024年 数学 第3問解答・解説

座標空間の 3 点 $A(3,1,3), B(4,2,2), C(4,0,1)$ の定める平面を $H$ とする。また、
$$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\quad(s,t\text{ は非負の実数})$$
を満たすすべての点 $P$ からなる領域を $K$ とする。

(1) 内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ を求めよ。

(2) 原点 $O(0,0,0)$ から平面 $H$ に下ろした垂線の足を $Q$ とする。$\overrightarrow{AQ}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表せ。

(3) 領域 $K$ 上の点 $P$ に対して、線分 $QP$ 上の点で $\overrightarrow{AR}=r\overrightarrow{AC}$（$r$ は非負の実数）を満たす点 $R$ が存在することを示せ。

(4) 領域 $K$ において原点 $O$ からの距離が最小となる点 $S$ の座標を求めよ。