3和歌山県立医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

方程式を二次方程式に直して根と偏角を求め、ド・モアブルの定理で実数条件を判定する。絶対値の最小化は非負性と零になるための必要十分条件で解く。

(1) まず $z\neq0$ であるから、与式に $z$ を掛けると $z^2+2\sqrt3z+4=0$ となる。平方完成して $(z+\sqrt3)^2=-1$ より、$z=-\sqrt3\pm i$ を得る。いずれも絶対値は $2$ であり、$z_+=-\sqrt3+i=2(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6})$、$z_-=-\sqrt3-i=2(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6})$ と表せる。ド・モアブルの定理より、$z_+^n$ が実数となる条件は $\sin(5n\pi/6)=0$、すなわち $5n/6$ が整数となることである。$5$ と $6$ は互いに素なので、これは $n$ は $6$ で割り切れると同値である。同様に $z_-^n$ が実数となる条件は $\sin(7n\pi/6)=0$、すなわち $7n/6$ が整数となることであり、$7$ と $6$ も互いに素だから $n$ は $6$ で割り切れると同値である。よっていずれの場合も最小の自然数は $n=6$ である。
(2) 絶対値は常に $0$ 以上である。一方、$z=2i$ または $z=-2i$ とすれば $z+4/z=0$ となるので、最小値は $0$ である。さらに最小値をとるには $z+4/z=0$ が必要十分であり、$z\neq0$ のもとで両辺に $z$ を掛けると $z^2+4=0$、したがって $z=2i,-2i$ である。これらはいずれも実際に最小値 $0$ を与える。