4名古屋大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $P_n(1)$ を、定義による積の形と展開形の両方で計算する。すると
$$P_n(1)=1\cdot2\cdots n=n!,\qquad P_n(1)=\sum_{m=1}^n{}_nB_m.$$
従って $\sum_{m=1}^n{}_nB_m=n!$。

(2) 展開式の $x$ に $x+1$ を代入し、各項に二項定理を用いると
$$P_n(x+1)=\sum_{m=1}^n{}_nB_m(x+1)^m =\sum_{m=1}^n{}_nB_m\sum_{k=0}^m{}_{m}\mathrm{C}_{k}x^k,$$
となり、示された。

(3) 積の定義から
$$P_{n+1}(x)=x(x+1)\cdots(x+n)=xP_n(x+1).$$
一方、展開式より
$$P_{n+1}(x)=\sum_{m=1}^{n+1}{}_{n+1}B_mx^m, \qquad P_n(x+1)=\sum_{m=1}^n{}_nB_m\sum_{k=0}^m{}_{m}\mathrm{C}_{k}x^k.$$
従って $x^k$（$1\leqq k\leqq n$）の係数を比べる。左辺の $P_n(x+1)$ での係数は、$m\geqq k$ の項から生じる
$$\sum_{j=k}^n{}_nB_j\,{}_{j}\mathrm{C}_{k},$$
である。また $P_n(x+1)=P_{n+1}(x)/x$ の係数表示では $x^k$ の係数は ${}_{n+1}B_{k+1}$。よって
$$\sum_{j=k}^n{}_nB_j\,{}_{j}\mathrm{C}_{k}={}_{n+1}B_{k+1},$$
が成り立つ。