2大阪医科薬科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

〔2〕

(1)
$0\leqq m\leqq n$ とする。$0\leqq k\leqq m$ なら
$$\frac{1}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m) =\frac{1}{k!}\frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k} ={}_{m}\mathrm{C}_{k}x^{m-k}.$$
したがって二項定理により
$$\sum_{k=0}^{m}\frac{1}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m) =\sum_{k=0}^{m}{}_{m}\mathrm{C}_{k}x^{m-k} =(x+1)^m.$$
$m=0$ の場合も、左辺の唯一の項は $x^0=1$ なので成り立つ。
(2)
$f(x)=\sum_{m=0}^{n}c_mx^m$ とおく。微分の線形性および有限和の交換から
$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}f(x) &=\sum_{m=0}^{n}c_m\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m)\\ &=\sum_{m=0}^{n}c_m\sum_{k=0}^{m}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m)\\ &=\sum_{m=0}^{n}c_m(x+1)^m=f(x+1). \end{aligned}$$$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}f(x)=\sum _{m=0}^n{c}_m\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}(x^m)$$$$=\sum _{m=0}^n{c}_m\sum _{k=0}^m\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}(x^m)$$$$=\sum _{m=0}^n{c}_m(x+1{)}^m=f(x+1).$$
ここでは $k>m$ の導関数は0であり、最後から2行目に(1)を用いた。よって示された。
検算
各単項式 $x^m$ に対する等式は(1)そのもので、線形結合をとる操作で係数 $c_m$ に制約は生じない。