3名古屋大学 2023年 数学 第3問解答・解説

負のxをt=-x>0に置き換える。(1)は対数を取った式の増加と解の一意性、(2)は差を表す関数のグラフが上に凸であることと符号、(3)は共有点条件をパラメータaの関数A(t)の水平線交点として扱い、微分による一意な最小値で判定する。

(1)

$x=-t$（$t>0$）とおくと、方程式は $e^{-t}=\dfrac{2t^{3}}{t+1}$ となる。両辺は正なので、対数を取って同値な式
$$\phi(t)=t+\log\dfrac{2t^{3}}{t+1}=0$$
を得る。
$$\phi'(t)=1+\dfrac{3}{t}-\dfrac{1}{t+1}=1+\dfrac{2t+3}{t(t+1)}>0\quad(t>0).$$
$$\displaystyle\lim_{t\to+0}\phi(t)=-\infty,\qquad \displaystyle\lim_{t\to\infty}\phi(t)=\infty.$$
したがって、この方程式は正の $t$ をただ1つもち、元の負の実数解も1個である。

(2)

$x=-t$（$t>0$）とすると、共有点条件は $H(t)=3t-t^{3}-e^{-t}=0$ である。
$t\geqq\sqrt3$ では $3t-t^{3}\leqq0<e^{-t}$ なので解はない。また $H(0)=-1<0$、$H(1)=2-e^{-1}>0$、$H(\sqrt3)=-e^{-\sqrt3}<0$ である。
$H''(t)=-6t-e^{-t}<0$ より $H'(t)$ は減少し、$H'(0)=4>0$、$H'(\sqrt3)=-6+e^{-\sqrt3}<0$ なので、$H'$ は符号をただ1回変える。
よって $H$ は一度だけ増加から減少に転じる。上の符号と中間値の定理から、増加区間と減少区間にそれぞれ1つずつ零点があり、共有点は2個である。

(3)

$x=-t$（$t>0$）と置くと、共有点条件 $t(a-t^{2})=e^{-t}$ は
$$a=A(t):=t^{2}+\dfrac{e^{-t}}{t}$$
と同値である。
$$A'(t)=2t-\dfrac{e^{-t}(t+1)}{t^{2}}$$
であり、$A'(t)$ の符号は $\dfrac{2t^{3}e^{t}}{t+1}-1$ の符号と一致する。
$K(t):=\dfrac{2t^{3}e^{t}}{t+1}$ とすると、
$$(\log K(t))'=\dfrac{3}{t}+1-\dfrac{1}{t+1}=1+\dfrac{2t+3}{t(t+1)}>0,\qquad \displaystyle\lim_{t\to+0}K(t)=0,\qquad \displaystyle\lim_{t\to\infty}K(t)=\infty.$$
ゆえに $K(\alpha)=1$ となる正の $\alpha$ はただ1つであり、$A$ は $0<t<\alpha$ で減少し、$t>\alpha$ で増加する。
$\displaystyle\lim_{t\to+0}A(t)=\displaystyle\lim_{t\to\infty}A(t)=\infty$ だから、$A$ は $t=\alpha$ でただ1つの最小値をとる。水平線 $a=A(\alpha)$ はグラフとただ1点で交わり、他の $a>0$ では交点数は0個または2個である。
$K(\alpha)=1$ より $e^{-\alpha}=\dfrac{2\alpha^{3}}{\alpha+1}$ なので、
$$a=A(\alpha)=\alpha^{2}+\dfrac{e^{-\alpha}}{\alpha}=\dfrac{\alpha^{2}(\alpha+3)}{\alpha+1}.$$
以上で、条件を満たす $a$ がただ1つ存在する。