2香川大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) 二曲線の共有点の $x$ 座標は
$$\begin{aligned}\frac{1}{3}x^3-px+\frac{1}{3}&=px^2+\left(\frac{1}{3}-p\right)x-p+\frac{1}{3}\\ x^3-3px^2-x+3p&=0\\ (x^2-1)(x-3p)&=0\end{aligned}$$$$\frac{1}{3}{x}^3-px+\frac{1}{3}=p{x}^2+\left(\frac{1}{3}-p\right)x-p+\frac{1}{3}$$$$x^3-3p{x}^2-x+3p=0$$$$(x^2-1)(x-3p)=0$$
より $x=-1,1,3p$ である。$x=-1,1$ は常に異なるので、共有点がちょうど2つとなるのは $3p=-1$ または $3p=1$ のときである。よって $p=-\frac{1}{3},\frac{1}{3}$。

(2) 共有点の $x$ 座標は
$$\frac{1}{3}x^3-px+\frac{1}{3}=x^2+px+\frac{2}{3}p^2-p$$
すなわち
$$F(x)=x^3-3x^2-6px+1+3p-2p^2=0$$
の実数解である。共有点がちょうど2つなら、この三次式は異なる2実根をもち、一方が重解である。重解を $r$、もう一方の解を $s$ とすると $r\ne s$ で
$$F(x)=(x-r)^2(x-s)=x^3-(2r+s)x^2+(r^2+2rs)x-r^2s.$$
係数を比較して
$$2r+s=3,\qquad r^2+2rs=-6p,\qquad -r^2s=1+3p-2p^2.$$
$s=3-2r$ を代入すると
$$p=\frac{r^2-2r}{2}.$$
これを定数項の関係に代入すれば
$$\begin{aligned}-r^2(3-2r)&=1+3\cdot\frac{r^2-2r}{2}-2\left(\frac{r^2-2r}{2}\right)^2,\\ r^4-5r^2+6r-2&=0,\\ (r-1)^2(r^2+2r-2)&=0.\end{aligned}$$$$-r^2(3-2r)=1+3\cdot \frac{r^2-2r}{2}-2{\left(\frac{r^2-2r}{2}\right)}^2,$$$$r^4-5r^2+6r-2=0,$$$$(r-1{)}^2(r^2+2r-2)=0.$$
$r=1$ のときは $s=1$ となって根が1つしかないため除く。残りは $r=-1+\sqrt{3},-1-\sqrt{3}$ であり、いずれも $s=3-2r\ne r$ である。対応する値は
$$r=-1+\sqrt{3}\quad\text{ならば}\quad p=3-2\sqrt{3},\qquad r=-1-\sqrt{3}\quad\text{ならば}\quad p=3+2\sqrt{3}.$$
このとき $F(x)=(x+1-\sqrt{3})^2(x-5+2\sqrt{3})$ または $F(x)=(x+1+\sqrt{3})^2(x-5-2\sqrt{3})$ となり、それぞれ異なる2実根をもつ。したがって $p=3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}$。