II横浜市立大学 2024年 数学 第II問解答・解説

条件式を分母を払った形にし、sinθcosθを未知数として基本恒等式で決定する。得た和と積から小問(3)の順序付きの組を数え、360°周期で指定区間の個数を求める。

条件 A では分母が 0 でない。$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta,\ p=sc$ とおくと、条件 A は $s+c=\sqrt{3}p$ と同値である。また、$s^2+c^2=1$ より $(s+c)^2=1+2p$ だから、$3p^2=1+2p$、すなわち $(3p+1)(p-1)=0$ を得る。$|p|=|sc|\leqq (s^2+c^2)/2=1/2$ なので $p=1$ は不可能であり、$p=-1/3$ である。このとき条件 A から $s+c=-1/\sqrt{3}$ となる。

(1) より、$\sin\theta\cos\theta=-\frac{1}{3}$。

(2) $\sin^4\theta+\cos^4\theta=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2-2(\sin\theta\cos\theta)^2=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ であり、$\frac12\sin 2\theta=\sin\theta\cos\theta=-\frac13$ である。したがって求める値は $\frac79-\frac13=\frac49$。

(3) $s+c=-1/\sqrt{3}$、$sc=-1/3$ なので、$s,c$ は二次方程式 $x^2+\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac13=0$ の二つの解である。この方程式の解は積が負であるため、一方が負、他方が正である。順序付きの組 $(s,c)$ は二通りあるが、$s<c$ を満たすのは負の解を $s$、正の解を $c$ とした一通りだけである。各組は一周につき一つの角を定めるので、条件を満たす角は 360°ごとに一つである。$-360^\circ\leqq\theta\leqq360^\circ$ の範囲は長さ 720°の区間であり、端点は $\sin\theta=0$ となって条件 A の分母が 0 なので解ではない。したがって、この区間内の角は二つである。