1浜松医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

差を平方の和にして第1不等式と等号条件を求める。三角形の内角和と正接の加法定理で(a)を示し、正接の逆数を置いて(b)の最小値と等号条件を示す。

(1) $abc>0$ なので、差を次のように平方の和で表せる。
$$\begin{aligned} &a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-abc(a+b+c)\\ &\quad=\frac12\{(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2\}\geqq0. \end{aligned}$$$$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2-abc(a+b+c)$$$$=\frac{1}{2}\{(ab-bc{)}^2+(bc-ca{)}^2+(ca-ab{)}^2\}\geqq 0.$$
よって不等式が成り立つ。等号成立には $ab=bc=ca$ が必要十分であり、$a,b,c>0$ より $a=b=c$ である。

(2)(a) $A+B=180^\circ-C$ である。$0<C<90^\circ$ より $A+B\ne90^\circ$ なので、正接の加法定理を使える。
$$\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} =\tan(A+B)=\tan(180^\circ-C)=-\tan C.$$
整理すると
$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$$
を得る。

(2)(b) $u=1/\tan A,\ v=1/\tan B,\ w=1/\tan C$ とおくと、鋭角なので $u,v,w>0$ である。(a) の等式を $\tan A\tan B\tan C$ で割ると
$$uv+vw+wu=1.$$
一方、
$$(u+v+w)^2-3(uv+vw+wu) =\frac12\{(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\}\geqq0$$
だから $u+v+w\geqq\sqrt3$、すなわち求める不等式が成立する。等号は $u=v=w$、したがって $A=B=C$ のときに限る。内角の和が $180^\circ$ なので、これは $A=B=C=60^\circ$ と同値である。