2昭和医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

立方体の底面を $xy$ 平面とし、$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を単位方向にとる。$x=\tan\alpha,\ y=\tan\beta$ とおくと、$\mathrm{P}=(1,0,x),\ \mathrm{R}=(0,1,y)$ である。平面 $\mathrm{OPR}$ 上の点の高さは $z=xX+yY$ となるから、$\mathrm{Q}=(1,1,x+y)$ である。

(1)
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}=xy,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{1+x^{2}},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=\sqrt{1+y^{2}}$$
より、
$$\cos\gamma=\frac{xy}{\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}}.$$

(2) 切断面を $\triangle\mathrm{OPQ}$ と $\triangle\mathrm{ORQ}$ に分ける。$\triangle\mathrm{OPQ}$ では $\overrightarrow{\mathrm{PO}}=(-1,0,-x),\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(0,1,y)$ だから、両者の内積は $-xy$ であり、辺の長さは $\sqrt{1+x^{2}},\ \sqrt{1+y^{2}}$ である。内積と三角形の面積公式から、
$$\triangle\mathrm{OPQ}\text{の面積}=\frac12\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.$$
$\triangle\mathrm{ORQ}$ も同じ面積となるので、
$$S=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.$$

(3) $u=xy$ とおく。$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ より $x+y=1-u$ である。また $S=\dfrac{7}{6}$ より $x^{2}+y^{2}=\dfrac{13}{36}$ となる。したがって
$$(1-u)^{2}-2u=\frac{13}{36}$$
すなわち $u=\dfrac{1}{6}$ または $\dfrac{23}{6}$ である。$x+y=1-u>0$ より $u=\dfrac{1}{6}$ を選び、$x+y=\dfrac{5}{6}$ を得る。