4東京医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

導関数による増減と接線、部分積分による定積分を用いて解いた。

(1) $x>-1$ で
$$f'(x)=\log(x+1)+\frac{x-1}{x+1},\qquad f''(x)=\frac1{x+1}+\frac2{(x+1)^2}=\frac{x+3}{(x+1)^2}.$$
したがって $\text{ア}=3,\text{イ}=1$。さらに $x>-1$ では $f''(x)>0$ なので $f'(x)$ は単調増加する。$f'(0)=-1<0$、$f'(1)=\log2>0$ であるから、中間値の定理と単調性より $f'(x)=0$ の解はちょうど1個。よって $\text{ウ}=1$。

(2) $f(x)=0$ となるのは $x=0,1$ で、$0<x<1$ では $f(x)<0$。したがって囲まれた部分の面積は
$$-\int_0^1(x-1)\log(x+1)\,dx =\int_1^2(2-u)\log u\,du,$$
ただし $u=x+1$ と置いた。部分積分により
$$\int_1^2(2-u)\log u\,du =\left[2(u\log u-u)-\left(\frac{u^2}{2}\log u-\frac{u^2}{4}\right)\right]_1^2 =2\log2-\frac54.$$
よって $\text{エ}=2,\text{オ}=5,\text{カ}=4$。

(3) $f(1)=0$、$f'(1)=\log2$ なので、点 $(1,f(1))$ における接線は $y=(x-1)\log2$ である。また $f''(x)>0$ より曲線は接線より上にあり、求める面積は
$$\int_0^1\bigl(f(x)-(x-1)\log2\bigr)\,dx =\int_0^1(x-1)\log(x+1)\,dx-\log2\int_0^1(x-1)\,dx.$$
(2) の面積を $A=2\log2-\frac54$ とすると、第1項は $-A=\frac54-2\log2$、第2項は $-\log2\cdot(-\frac12)=\frac12\log2$ である。したがって面積は
$$\frac54-\frac32\log2,$$
ゆえに $\text{キ}=5,\text{ク}=4,\text{ケ}=3,\text{コ}=2$。