2京都府立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 一階導関数の符号で増減と極値、二階導関数の符号で凹凸と変曲点を調べ、端の極限・切片・極値から概形を定める。(2) m≦5を整数範囲で分け、増減性と与えられたeの評価で候補(1,9)を他の全場合と比較する。

(1) $f(x)=xe^{-x}$ はすべての実数で定義される。

積の微分法と合成関数の微分法より
$$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).$$$e^{-x}>0$ だから、$x<1$ で $f'(x)>0$、$x=1$ で $f'(x)=0$、$x>1$ で $f'(x)<0$ である。したがって $f$ は $x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。よって $x=1$ で極大となり、その値は $f(1)=1/e$ である。さらに後述の左端の極限が $-\infty$ なので、極小値はない。

もう一度微分すると
$$f''(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2).$$
よって $x<2$ で $f''(x)<0$、$x>2$ で $f''(x)>0$ である。凹凸が変わるので $x=2$ は変曲点の横座標であり、$f(2)=2/e^2$ より変曲点は $\left(2,2/e^2\right)$ である。

グラフの端の様子も確認する。$t=-x$ とすると、$x\to-\infty$ のとき $t\to\infty$ であり、$f(x)=-te^t\to-\infty$ である。一方、$x\geqq0$ では $(e^x-1-x)'=e^x-1\geqq0$ だから $e^x\geqq1+x>x$（$x>0$）。そこで $q(x)=e^x-x^2/2$ とおくと、$q'(x)=e^x-x>0$ であり、$q(x)>q(0)=1$（$x>0$）。したがって $e^x>x^2/2$ であり、$0<xe^{-x}<2/x$ から $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ となる。また $e^{-x}>0$ だから $f(x)$ の符号は $x$ の符号と同じで、グラフは $x$ 軸と原点だけで交わる。以上より、グラフは左下から増加して原点を通り、$\left(1,1/e\right)$ で極大となった後に減少し、$\left(2,2/e^2\right)$ で凹凸を変え、右側では $x$ 軸の上から $0$ に近づく概形である。

(2) $m+n=10$、$m\leqq n$ より $m\leqq5$、$n=10-m\geqq5$ である。$f$ は $x>1$ で減少する。まず $m\leqq0$ なら $f(m)\leqq0$、$n\geqq10$ だから $f(n)\leqq f(10)<f(1)$ であり、$f(m)+f(n)<f(1)$ となる。

次に $2\leqq m\leqq5$ なら、$m\geqq2$、$n\geqq5$ と減少性から $f(m)\leqq f(2)$、$f(n)\leqq f(5)$ なので
$$f(m)+f(n)\leqq f(2)+f(5).$$
ここで、$h(t)=t^4-2t^3-5$ とおくと、$t>3/2$ で $h'(t)=2t^2(2t-3)>0$ である。与えられた $e>5/2$ を用いて
$$h(e)>h\!\left(\frac52\right)=\frac{45}{16}>0.$$
ゆえに
$$f(1)-f(2)-f(5)=\frac{e^4-2e^3-5}{e^5}=\frac{h(e)}{e^5}>0.$$
したがって $2\leqq m\leqq5$ のときも $f(m)+f(n)<f(1)$ である。

残る $m=1$ では $n=9$ であり、$f(1)+f(9)>f(1)$。これまでの比較から、この値が他のすべての許される整数 $m$ の場合より大きい。よって最大となる組は $\boxed{(m,n)=(1,9)}$ である。