4宮崎大学 2022年 数学 第4問解答・解説

微分可能な関数 $f(x),g(x)$ が、$g(0)=1$、および$$f(x)=g(x)+3\int_{0}^{x}e^{t-x}f(t)\,dt$$を満たしているとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) $f'(x)=2f(x)+h(x)$ を満たす関数 $h(x)$ を、$g(x)$ と $g'(x)$ を用いて表せ。
(2) $e^{-2x}f(x)$ の導関数を、$g(x),g'(x)$ および $e^{-2x}$ を用いて表せ。
(3) $e^{-2x}f(x)$ が定数関数のとき、$e^{x}g(x)$ も定数関数であることを示せ。また、このときの $g(x)$ および $f(x)$ を求めよ。
(4) $g(x)=x^{2}+1$ のとき、$f(x)$ を求めよ。