2宮崎大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p}$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}-\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\vec{p}-\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\vec{p}-\vec{c}$ である。条件に代入して
$$3\vec{p}+8(\vec{p}-\vec{a})+7(\vec{p}-\vec{b})+(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0}$$
より、$19\vec{p}=8\vec{a}+7\vec{b}+\vec{c}$。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{8\vec{a}+7\vec{b}+\vec{c}}{19}.$$
平面 $\mathrm{ABC}$ 上の点の位置ベクトルは、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数の和が $1$ となる形で表される。直線 $\mathrm{OP}$ 上の点 $\mathrm{X}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OX}}=t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおくと、係数の和は $\dfrac{16t}{19}$ である。これが $1$ となるのは $t=\dfrac{19}{16}$ のときだから、
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{19}{16}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{8\vec{a}+7\vec{b}+\vec{c}}{16} =\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{7}{16}\vec{b}+\dfrac{1}{16}\vec{c}.$$
よって、$\mathrm{Q}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ に関して頂点 $\mathrm{C}$ の係数が $\dfrac{1}{16}$ である。

(2)

$\mathrm{ABC}$ は一辺 $1$ の正三角形なので、その面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ である。$\mathrm{AB}$ から測った符号付きの高さは、点の位置ベクトルの係数に関して一次的に変化する。$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の高さは $0$、$\mathrm{C}$ の高さは正三角形の高さ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ だから、$\mathrm{Q}$ の高さは $\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{32}$。したがって
$$\triangle\mathrm{ABQ}=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{AB}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{32}=\dfrac{\sqrt{3}}{64}.$$

(3)

正四面体の辺の長さが $1$ であるから、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$、また $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\dfrac{1}{2}$ である。重心 $\mathrm{G}$ について $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ だから、
$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot(\vec{b}-\vec{a}) =\dfrac{1}{3}\{(\vec{a}\cdot\vec{b}-|\vec{a}|^{2})+(|\vec{b}|^{2}-\vec{b}\cdot\vec{a})+(\vec{c}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{a})\}=0.$$
同様に $\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot(\vec{c}-\vec{a})=0$。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}-\vec{a}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 内の平行でない二方向なので、$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である。

(4)

$\mathrm{AG}$ は正三角形 $\mathrm{ABC}$ の中線の $\dfrac{2}{3}$ であり、中線の長さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので $\mathrm{AG}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。直角三角形 $\mathrm{OAG}$ で $\mathrm{OA}=1$ より
$$\mathrm{OG}=\sqrt{\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{AG}^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$$
また $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{16}{19}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ であり、$\mathrm{Q}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある。したがって、点 $\mathrm{P}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ までの距離は、$\mathrm{O}$ から同平面までの距離 $\mathrm{OG}$ の $1-\dfrac{16}{19}=\dfrac{3}{19}$ 倍であり、$\dfrac{\sqrt{6}}{19}$ である。よって四面体 $\mathrm{PABQ}$ の体積は
$$\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{ABQ}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{19} =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{64}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{19} =\dfrac{\sqrt{2}}{1216}.$$