2福島県立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

正四面体の各辺の長さは1であるから，$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$，また異なる2辺のなす角は$60^\circ$なので，$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12$である。
位置ベクトルを$\vec{OP}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$と表す。$E,F,D$の係数はそれぞれ$(s,0,0),(0,t,0),(\frac12,0,\frac12)$である。平面$DEF$の方程式を$x,y,z$について一次式で表すと，$E,F,D$を代入して$$\frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\left(2-\frac1s\right)z=1$$を得る。$G$は辺$BC$上にあるから，$G$の係数を$(0,y,z)$とおけば$y+z=1$である。これを平面の式に代入すると$$\frac{1-z}{t}+\left(2-\frac1s\right)z=1,\qquad z=\frac{s(1-t)}{s+t-2st},\quad y=\frac{t(1-s)}{s+t-2st}.$$よって$$\overrightarrow{OG}=\frac{t(1-s)}{s+t-2st}\vec b+\frac{s(1-t)}{s+t-2st}\vec c.$$なお，$s+t-2st=s(1-t)+t(1-s)>0$であり，$0<s,t<1$より両係数は正で，和は1となる。
(2) 線分$AB$を$1:3$に外分する点を$P$とすると，$\overrightarrow{OP}=\frac{3\vec a-\vec b}{2}$である。$P$が直線$EF$上にある条件は，その$a,b$の係数を用いて$\frac{x}{s}+\frac{y}{t}=1$と表せるので，$$\frac{3}{2s}-\frac{1}{2t}=1,\qquad 3t-s=2st.$$したがって$t=\frac{s}{3-2s}$である。この関係を(1)に代入すると，$s+t-2st=2(s-t)$であり，$\frac{t(1-s)}{s+t-2st}=\frac14$，$\frac{s(1-t)}{s+t-2st}=\frac34$となる。よって$\overrightarrow{OG}=\frac14\vec b+\frac34\vec c$である。
(3) 正四面体の辺ベクトルの内積から$$|x\vec a+y\vec b+z\vec c|^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$$である。したがって$$DF^2=\left|-\frac12\vec a+t\vec b-\frac12\vec c\right|^2=t^2-t+\frac34,$$また(2)の$G$を用いると$$FG^2=\left(\frac14-t\right)^2+\left(\frac34\right)^2+\left(\frac14-t\right)\frac34=t^2-\frac54t+\frac{13}{16}.$$条件$DF=FG$よりこれらの二乗を等しくして$t=\frac14$を得る。(2)の関係から$s=\frac12$である。
このとき$\overrightarrow{DE}=-\frac12\vec c$，$\overrightarrow{FG}=\frac34\vec c$より，四角形$DEFG$は$DE/\!/ FG$の台形である。台形の高さは$EF$の$\vec c$に垂直な成分の長さである。$\overrightarrow{EF}=-\frac12\vec a+\frac14\vec b$だから$$|EF|^2=\frac{3}{16},\qquad \overrightarrow{EF}\cdot\vec c=-\frac18,\qquad h=\sqrt{|EF|^2-(\overrightarrow{EF}\cdot\vec c)^2}=\frac{\sqrt{11}}8.$$また$|DE|=\frac12$，$|FG|=\frac34$である。よって面積は$$\frac{|DE|+|FG|}{2}h=\frac{\frac12+\frac34}{2}\cdot\frac{\sqrt{11}}8=\frac{5\sqrt{11}}{64}.$$
平面の一次関係は次のようにも導ける。平面DEF内の点を $P=\lambda E+\mu F+\nu D$、$\lambda+\mu+\nu=1$ と表せば、$x=s\lambda+\nu/2,y=t\mu,z=\nu/2$。この三式から $x/s+y/t+(2-1/s)z=\lambda+\mu+\nu=1$ となる。これは三角形内外の内分・外分による表示である。