3福井大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $f'(t)=2e^t(1-e^t)$ である。$t<0$ では正、$t>0$ では負なので、$f$ は $t=0$ で極大となり、$\alpha=0$。また
$$f(t)=e^t(2-e^t)=0$$
であり、$e^t>0$ だから $e^t=2$、よって $\beta=\log2$。
$$\boxed{\alpha=0,\qquad \beta=\log2}.$$

(2) $t>\alpha=0$ では $x'(t)=2e^t(1-e^t)<0$ なので、$dy/dx=y'(t)/x'(t)$ が定義できる。$y'(t)=(1+t)e^t$ より
$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{1+t}{2(1-e^t)}}.$$
$t>0$ なら分子は正、分母は負であるから $dy/dx<0$。

(3) $0\leqq t\leqq\beta$ では $x=f(t)$ は $1$ から $0$ へ単調減少し、$y=g(t)$ は $0$ から $2\log2$ へ増加する。したがってこの区間が、曲線上の $(1,0)$ と $(0,2\log2)$ を結ぶ部分であり、軸と囲まれる領域の境界となる。$0\leqq x\leqq1$ を満たす各 $x$ に対応する $t$ は一つなので、面積を通常の「高さ$\times$幅」の定積分として書き、$x=f(t)$ に置換すると
$$S=\int_0^1 y(x)\,dx=-\int_0^{\log2}g(t)f'(t)\,dt =2\int_0^{\log2}t(e^{3t}-e^{2t})\,dt.$$
部分積分により、$L=\log2$ とおくと
$$\int_0^Lte^{3t}\,dt=\left[e^{3t}\left(\frac t3-\frac19\right)\right]_0^L=\frac{8L}{3}-\frac79, \quad \int_0^Lte^{2t}\,dt=\left[e^{2t}\left(\frac t2-\frac14\right)\right]_0^L=2L-\frac34.$$
よって
$$S=2\left(\frac{8L}{3}-\frac79-2L+\frac34\right) =\boxed{\frac43\log2-\frac1{18}}.$$

$f$の導関数から極大値を取る$t$を決め、$f(t)=0$を指数方程式に直す。媒介変数表示を微分して傾きを求める。面積は$0\leqq t\leqq\log 2$で曲線が第一象限内を$x=1$から$0$へ単調に進むため、通常の$y$対$x$の定積分を媒介変数に置換し、部分積分で計算する。