II杏林大学 2024年 数学 第II問解答・解説

$\boxed{\text{セ}}$の解答は該当する解答群の中から最も適当なものを一つ選べ。実数$x$の関数$f(x)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}-1$に対し、座標平面上の$y=f(x)$のグラフを$C$とする。また、実数の媒介変数$s$を用いて次式で表される座標平面上の曲線を$\Gamma$とする。$$x=s-1+\frac{2}{e^{2s}+1},\qquad y=\frac{2e^s}{e^{2s}+1}-1.$$ただし、$e$は自然対数の底である。
(a) $s=\log 3$としたときの曲線$\Gamma$上の点を$P$とする。点$P$の座標は$\left(\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}+\log_e 3,-\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\right)$であり、この点における曲線$\Gamma$の法線$\ell$の方程式は$$y=\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}(x-\log_e 3)+\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$$とかける。
(b) $x$座標が$\log_e 3$である$C$上の点を$Q$とする。点$Q$の$y$座標は$\frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$であり、$f'(\log_e 3)=\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$が成り立つ。直線$\ell$は、点$Q$における曲線$C$の$\boxed{\text{セ}}$である。
セの解答群
① 法線　 ② 接線　 ③ 接線と$\frac{\pi}{6}$の角度で交わる直線
④ 接線と$\frac{\pi}{4}$の角度で交わる直線　 ⑤ 接線と$\frac{\pi}{3}$の角度で交わる直線。
(c) 原点$O$と点$Q$を結ぶ曲線$C$の長さを$d$とすると、$d=\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$であり、$\frac{d}{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{チ}}$が成り立つ。