4聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

以下の(1)〜(3)に対する解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) 次の$\text{ナ},\text{ニ}$にあてはまる数を答えよ。$4n+1$（$n=1,2,3,\cdots$）で表される自然数を考える。この形の数のうち、小さい方から5番目の素数は$\boxed{\text{ナ}}$で、小さい方から5番目の合成数は$\boxed{\text{ニ}}$である。

(2) $a$を自然数とする。$a$を用いて、次の文中にある$b$を表せ。$$p_n=an+1\quad(n=1,2,3,\cdots)$$とする。どのような自然数$m$に対しても、$k=bm+1$とおくと$p_k=b(am+1)$となる。ここで、$b,am+1$はともに1より大きい自然数なので、$p_k$は合成数である。

(3) $c,d,e$を自然数として$$q_n=cn^{2}+dn+e\quad(n=1,2,3,\cdots)$$とする。$c,d,e$がどのような自然数であっても、$q_n$で表される数の中には合成数となるものがあることを示せ。