2聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

正弦定理より $\mathrm{AD}=\dfrac{2\sin\alpha}{\sin\theta}$、$\mathrm{DC}=\dfrac{3\sin\beta}{\sin\theta}$ である。したがって $\sin\alpha=\sin\beta$ のとき $\mathrm{AD}:\mathrm{DC}=2:3$ なので $\mathrm{AD}=\dfrac{2t}{5}$ である。$2\sin\alpha=\sin\beta$ のとき $\mathrm{AD}:\mathrm{DC}=2:6=1:3$ なので $\mathrm{AD}=\dfrac{t}{4}$ である。

(2)

$s=\mathrm{BD}$ とおく。余弦定理を $\triangle\mathrm{ABD}$ に使うと
$$\cos\theta=\dfrac{s^{2}+\left(\dfrac{t}{4}\right)^{2}-2^{2}}{2s\cdot\dfrac{t}{4}}=\dfrac{16s^{2}+t^{2}-64}{8ts}.$$
$\triangle\mathrm{CBD}$ では $\mathrm{DC}=\dfrac{3t}{4}$、$\mathrm{BC}=3$ なので
$$\cos(180^{\circ}-\theta)=\dfrac{s^{2}+\left(\dfrac{3t}{4}\right)^{2}-3^{2}}{2s\cdot\dfrac{3t}{4}}=\dfrac{16s^{2}+9t^{2}-144}{24ts}.$$

(3)

$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$ より $3(16s^{2}+t^{2}-64)+(16s^{2}+9t^{2}-144)=0$、従って
$$t^{2}=\dfrac{84-16s^{2}}{3}.$$
また $\triangle\mathrm{ABD}$ の余弦定理で、
$$\cos\alpha=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{AD}^{2}}{2\,\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BD}}=\dfrac{s^{2}+4-\dfrac{t^{2}}{16}}{4s}=\dfrac{16s^{2}+27}{48s}=\dfrac{s}{3}+\dfrac{9}{16s}.$$
相加平均と相乗平均の関係より、最小値は $2\sqrt{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。等号条件 $\dfrac{s}{3}=\dfrac{9}{16s}$ から $s^{2}=\dfrac{27}{16}$、すなわち $s=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ である。このとき $t^{2}=\dfrac{84-27}{3}=19$ で、$t=\sqrt{19}$ である。

この等号値が、もとの三角形および点 $\mathrm{D}$ の条件を実際に満たすことを確かめる。$s=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ のとき $t^{2}=19$、$t>0$ より $t=\sqrt{19}$ である。$1<\sqrt{19}<5$ であり、さらに $2+3>\sqrt{19}$、$2+\sqrt{19}>3$、$3+\sqrt{19}>2$ だから、辺の長さが $\mathrm{AB}=2$、$\mathrm{BC}=3$、$\mathrm{AC}=\sqrt{19}$ の三角形 $\mathrm{ABC}$ が存在する。その辺 $\mathrm{AC}$ 上で $\mathrm{AD}=\dfrac{t}{4}$、$\mathrm{DC}=\dfrac{3t}{4}$ とする点 $\mathrm{D}$ をとると、両方の長さが正なので、$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の内部にある。

座標を $\mathrm{A}(0,\,0)$、$\mathrm{C}(t,\,0)$ とし、$\mathrm{B}\left(\dfrac{7}{t},\,\sqrt{\dfrac{27}{19}}\right)$ とおく。$t^{2}=19$ より、$\mathrm{AB}^{2}=\dfrac{49}{19}+\dfrac{27}{19}=4$、$\mathrm{BC}^{2}=\left(\dfrac{7}{t}-t\right)^{2}+\dfrac{27}{19}=\dfrac{144}{19}+\dfrac{27}{19}=9$ であり、$\mathrm{AC}=t$ だから必要な辺の長さをもつ三角形が実現する。また $\mathrm{D}\left(\dfrac{t}{4},\,0\right)$ なので、
$$\mathrm{BD}^{2}=\left(\dfrac{7}{t}-\dfrac{t}{4}\right)^{2}+\dfrac{27}{19}=\left(\dfrac{28-t^{2}}{4t}\right)^{2}+\dfrac{27}{19}=\left(\dfrac{9}{4t}\right)^{2}+\dfrac{27}{19}=\dfrac{81}{304}+\dfrac{432}{304}=\dfrac{27}{16}.$$
よって $\mathrm{BD}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=s$ である。

また $\mathrm{D}$ が $\mathrm{AC}$ の内部にあるから $\angle\mathrm{CDB}=180^{\circ}-\theta$ であり、正弦定理より
$$\sin\alpha=\dfrac{\mathrm{AD}\sin\theta}{\mathrm{AB}}=\dfrac{t\sin\theta}{8},\qquad \sin\beta=\dfrac{\mathrm{DC}\sin(180^{\circ}-\theta)}{\mathrm{BC}}=\dfrac{t\sin\theta}{4}.$$
従って $2\sin\alpha=\sin\beta$ が成立する。この構成で等号条件は元の条件のもとで実現されるので、$\cos\alpha$ の最小値は確かに $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。