2聖マリアンナ医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

聖さん、マリさんが常用対数表を見て話し合っている。次の会話文のカ〜メにあてはまる適切な数を0〜9から選択し答えよ。表の値は$\log_{10}1.2=0.0792$、$\log_{10}1.3=0.1139$、$\log_{10}1.4=0.1461$、$\log_{10}1.5=0.1761$、$\log_{10}1.6=0.2041$、$\log_{10}1.7=0.2304$、$\log_{10}1.8=0.2553$、$\log_{10}1.9=0.2788$、$\log_{10}2.0=0.3010$、$\log_{10}5.2=0.7160$、$\log_{10}7.0=0.8451$である。注：$\log_{10}x$の値を小数第5位で四捨五入した値。聖「$\log_{10}2.6$は、$\log_{10}2.6=\log_{10}(1.3\times2)=\log_{10}1.3+\log_{10}2.0$（1）と考えると0.4149になるね。」マリ「ちょっと待って。$\log_{10}2.6=\log_{10}(5.2\div2)=\log_{10}5.2-\log_{10}2.0$（2）と考えると0.4150だよ。結果が一致しないのはなぜだろう？」聖「何でだろうね？…表の右下に『$\log_{10}x$の値を小数第5位で四捨五入した値』と書いてある。じゃあ、$\log_{10}1.3$と$\log_{10}2.0$の正確な値は$0.11385\leqq\log_{10}1.3<0.11395$、$0.30\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}\leqq\log_{10}2.0<0.30\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}}\boxed{\text{サ}}$の範囲にあるということかな。これらを利用すると（1）から$\log_{10}2.6$の正確な値は$0.41\boxed{\text{シ}}\boxed{\text{ス}}\leqq\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}$の範囲にあると言えるね。」マリ「（2）からは$0.41\boxed{\text{タ}}\boxed{\text{チ}}<\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{ツ}}\boxed{\text{テ}}$だね。$\log_{10}2.6$の正確な値は聖さんの結果との共通部分にあるので、$0.41\boxed{\text{ト}}\boxed{\text{ナ}}<\log_{10}2.6<0.41\boxed{\text{ニ}}\boxed{\text{ヌ}}$の範囲だね。」聖「次は$2023=7\times17^{2}$にちなんで何か調べてみようよ。」マリ「$7^{17^{2}}=7^{289}$とか、やたらと大きい数を調べてみるのはどうかな？」聖「よし、$7^{17^{2}}$を調べよう。この巨大な数の下2桁は$\boxed{\text{ネノ}}$だ。下3桁は難しいな。対数を利用すれば上2桁（最高位の数とその隣の数）は求められるよ。」マリ「対数表の$\log_{10}7.0$の値を用いて$\log_{10}7^{17^{2}}=289\log_{10}7.0$を計算すると$289\times0.8451=244.2339$だね。この値を用いると$7^{17^{2}}$は$\boxed{\text{ハヒフ}}$桁の整数で、上2桁は$\boxed{\text{ヘホ}}$だ。」聖「でも$\log_{10}7.0$の正確な値の範囲を考えると、$289\log_{10}7.0$の正確な値は$244.21945\leqq289\log_{10}7.0<244.24835$の範囲にあるから、$7^{17^{2}}$の上2桁は$\boxed{\text{ヘホ}}$または$\boxed{\text{マミ}}$となるね。どっちが正解かな？」マリ「えーっと、ここにある情報だけでは結論は出なさそうだよ。」聖「そう？電卓で答え合わせしてみようか。」マリ「$7^{289}$を電卓で計算すると…エラーだね。でも$\log_{10}7.0$なら0.845098$\cdots$と出るよ。」聖「それなら$7^{17^{2}}$の上2桁は$\boxed{\text{ムメ}}$だね。」