1弘前大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 周の長さの条件から
$$2+\log_2a+\log_2b=4+\log_2 3+\log_2 5$$
となる。対数法則より
$$\log_2(ab)=2+\log_2 15=\log_2 60,$$
ゆえに $ab=60$。$a\geqq b$ を満たす自然数の組は
$$(a,b)=(60,1),(30,2),(20,3),(15,4),(12,5),(10,6).$$
このうち $4b>a$ を満たすのは $(15,4),(12,5),(10,6)$ であり、いずれも $ab=60>4$ を満たす。したがって求める組はこの3組である。
(2) $P(a,b)=AB\cdot BC\cdot CA=2\log_2a\log_2b$ とおき、$u=\log_2 3,\;v=\log_2 5$ とする。各組に対して
$$P(15,4)=4(u+v),\quad P(12,5)=2(u+2)v,\quad P(10,6)=2(u+1)(v+1).$$
ここで $u>0$, $v>2$ だから
$$P(12,5)-P(15,4)=2u(v-2)>0.$$
また $1+u=\log_2 6>\log_2 5=v$ より
$$P(10,6)-P(12,5)=2(1+u-v)>0.$$
従って $P(15,4)<P(12,5)<P(10,6)$。よって最小値は $4\log_2 15$、最大値は $2\log_2 10\log_2 6$ である。