2岩手医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$C_{2}$ を明示して 2 曲線の差を求める。問 2 の定積分を部分積分と二倍角の公式で評価し、その結果と区間の対称性を使って問 3 の面積、問 4 の回転体の体積を計算する。

(1)

$C_{2}$ の式を変形すると
$$f\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(2x-\pi)=\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin2x$$
である。したがって共有点の $x$ 座標は
$$x\sin2x=\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin2x\quad\text{すなわち}\quad\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)\sin2x=0$$
を満たす。区間 $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では、$\sin2x=0$ から $x=0,\ \dfrac{\pi}{2}$、また $2x-\dfrac{\pi}{2}=0$ から $x=\dfrac{\pi}{4}$ を得る。よって共有点の $x$ 座標は $0,\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{2}$ であり、$\boxed{\text{ア}}>\boxed{\text{イ}}$ より $\boxed{\text{ア}}=4$、$\boxed{\text{イ}}=2$ である。

(2)

部分積分により
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}x\sin2x\,dx=\left[-\dfrac{x}{2}\cos2x\right]_{0}^{\pi/4}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos2x\,dx=\dfrac{1}{4}$$
となる。また、$\sin^{2}2x=\dfrac{1-\cos4x}{2}$ を用いると
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}2x\,dx=\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin4x}{8}\right]_{0}^{\pi/4}=\dfrac{\pi}{8}.$$
さらに
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}x\sin^{2}2x\,dx &=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}x\,dx-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}x\cos4x\,dx\\ &=\dfrac{\pi^{2}}{64}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x}{4}\sin4x+\dfrac{\cos4x}{16}\right]_{0}^{\pi/4}\\ &=\dfrac{\pi^{2}}{64}+\dfrac{1}{16}. \end{aligned}$$$${\int }_0^{\pi /4}x{\sin }^{2}2xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}xdx-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}x\cos 4xdx$$$$=\frac{{\pi }^2}{64}-\frac{1}{2}{\left[\frac{x}{4}\sin 4x+\frac{\cos 4x}{16}\right]}_0^{\pi /4}$$$$=\frac{{\pi }^2}{64}+\frac{1}{16}.$$
したがって $\boxed{\text{ウ}}=1,\ \boxed{\text{エ}}=4,\ \boxed{\text{オ}}=8,\ \boxed{\text{カ}}=2,\ \boxed{\text{キ}}=6,\ \boxed{\text{ク}}=4,\ \boxed{\text{ケ}}=1,\ \boxed{\text{コ}}=1,\ \boxed{\text{サ}}=6$ である。

(3)

先の変形から
$$C_{2}-C_{1}=\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)\sin2x$$
である。$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ では $C_{2}\geqq C_{1}$ であり、$x$ を $\dfrac{\pi}{2}-x$ に置き換えると二曲線の上下が入れ替わり、面積は左右で等しい。よって
$$\begin{aligned} S&=2\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)\sin2x\,dx\\ &=2\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-2\cdot\dfrac{1}{4}\right) =\dfrac{\pi}{2}-1. \end{aligned}$$$$S=2{\int }_0^{\pi /4}\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)\sin 2xdx$$$$=2\left(\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{2}-1.$$
したがって $\boxed{\text{シ}}=2$、$\boxed{\text{ス}}=1$ である。

(4)

$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ では $C_{2}$ が外側、$C_{1}$ が内側で、$\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ではその逆となる。両方の曲線はこの範囲で $x$ 軸以上にある。また左右の部分は $x$ を $\dfrac{\pi}{2}-x$ に置き換えたものどうしで対応するので、回転体の体積は
$$\begin{aligned} V&=2\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\left[\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)^{2}-x^{2}\right]\sin^{2}2x\,dx\\ &=2\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}-\pi x\right)\sin^{2}2x\,dx\\ &=2\pi\left\{\dfrac{\pi^{2}}{4}\cdot\dfrac{\pi}{8}-\pi\left(\dfrac{\pi^{2}}{64}+\dfrac{1}{16}\right)\right\}\\ &=\dfrac{\pi^{4}}{32}-\dfrac{\pi^{2}}{8}. \end{aligned}$$$$V=2\pi {\int }_0^{\pi /4}\left[{\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^2-x^2\right]{\sin }^{2}2xdx$$$$=2\pi {\int }_0^{\pi /4}\left(\frac{{\pi }^2}{4}-\pi x\right){\sin }^{2}2xdx$$$$=2\pi \left\{\frac{{\pi }^2}{4}\cdot \frac{\pi }{8}-\pi \left(\frac{{\pi }^2}{64}+\frac{1}{16}\right)\right\}$$$$=\frac{{\pi }^4}{32}-\frac{{\pi }^2}{8}.$$
したがって $\boxed{\text{セ}}=4$、$\boxed{\text{ソ}}=3$、$\boxed{\text{タ}}=2$、$\boxed{\text{チ}}=2$、$\boxed{\text{ツ}}=8$ である。