3金沢医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

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$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は互いに垂直で
長さ2のベクトルとする。底面の対頂点関係から
$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
$DK:KG=3:1$ の外分点なので
$$\overrightarrow{OK} =\frac{3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OD}}{2} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac32\overrightarrow{OC}.$$
$\overrightarrow{OK}$ 上の点を
$$\overrightarrow{OX}=t\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\frac32\overrightarrow{OC}\right)$$
とおく。
平面 $CEGF$ は $\overrightarrow{OC}$ 方向の係数が1であるから、
$t=2/3$ となり
$$\overrightarrow{OS}=\frac23\overrightarrow{OA} +\frac23\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
平面 $ABC$ は係数の和が1、すなわち $t+t+3t/2=1$ なので
$t=2/7$。従って
$$\overrightarrow{OT}=\frac27\overrightarrow{OA} +\frac27\overrightarrow{OB}+\frac37\overrightarrow{OC}.$$
$O,T,S,K$ は同一直線上で、対応する線分長はパラメータ差に比例する。
$$OT:TS:SK=\frac27:\left(\frac23-\frac27\right): \left(1-\frac23\right)=\frac27:\frac8{21}:\frac13=6:8:7.$$
直交座標を辺方向に取り、辺の長さが2なので
$$O=(0,0,0),\ A=(2,0,0),\ B=(0,2,0),\ C=(0,0,2),\ S=(4/3,4/3,2).$$
平面 $ABC$ の方程式は $x+y+z=2$。従って
$$SH=\frac{|4/3+4/3+2-2|}{\sqrt3} =\frac{8\sqrt3}{9}.$$
三角形 $ABC$ は一辺 $2\sqrt2$ の正三角形で、面積は
$2\sqrt3$。よって
$$V_{S-ABC}=\frac13(2\sqrt3)\left(\frac{8\sqrt3}{9}\right) =\frac{16}{9}.$$
空欄は
$$\boxed{\text{ム}=3,\text{メ}=2,\text{モ}=\text{ユ}=2,\text{ヤ}=\text{ヨ}=3,\ \text{ラ}=\text{ル}=2,\text{リ}=\text{レ}=7,\text{ロ}=3,\text{ワ}=7,\ \text{ヲ}=6,\text{あ}=8,\text{い}=7,\text{う}=8,\text{え}=3,\text{お}=9,\ \text{かき}=16,\text{く}=9}.$$