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福島県立医科大学／2022年度／前期

3福島県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

三角関数微分法積分法平面上の曲線と複素数平面

1問題

福島県立医科大学2022年度第3問
座標平面上に原点 OO を中心とする半径2の円があって、半径1の円 CC がこの円の周りを外接しながら滑らずに反時計回りに転がるとき、CC の円周上の定点 PP の描く曲線を考える。はじめ CC の中心 MM は点 (3, 0)(3,\,0)、PP は点 (4, 0)(4,\,0) の位置にある。MM が点 (3, 0)(3,\,0) から点 (0, 3)(0,\,3) まで動くとき、PP が描く曲線を CpC_{p} とする。また、右下図のように、MM と OO を結ぶ線分と xx 軸の正の向きとのなす角が θ (0≦θ≦π2)\theta\ (0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}) となる位置に CC が移動したときの点 PP の座標を (f(θ), g(θ))(f(\theta),\,g(\theta)) とする。以下の問いに答えよ。

(1) 線分 PQPQ が円 CC の直径となるような CC の円周上の点を QQ とする。中心 MM が右図の位置にあるとき、QQ の xx 座標と yy 座標をそれぞれ θ\theta で表せ。

(2) 曲線の媒介変数表示が、x=f(θ), y=g(θ) (0<θ<π2)x=f(\theta),\,y=g(\theta)\ (0<\theta<\dfrac{\pi}{2}) で与えられているとき、dydx, d2ydx2\dfrac{dy}{dx},\,\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} を θ\theta の関数として表せ。

(3) 関数 y=F(x) (0≦x≦4)y=F(x)\ (0\leqq x\leqq 4) のグラフが CpC_{p} となるとき、関数 y=F(x) (0≦x≦4)y=F(x)\ (0\leqq x\leqq 4) の増減、極値、グラフの凹凸を調べ、CpC_{p} の概形を描け。

(4) CpC_{p} と xx 軸、yy 軸で囲まれる部分の面積 SS を求めよ。
x軸・y軸と原点Oがあり、両軸の正方向に矢印がある。Oを中心とする大きい円の右上に小さい円が外接し、その中心MとOを結ぶ線分とx軸の間にθが記されている。小さい円上に黒丸P・Qがあり、P・M・Qが直径の線分で結ばれ、両軸には2が記されている。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    Q=(3cos⁡θ−cos⁡3θ, 3sin⁡θ−sin⁡3θ)Q=(3\cos\theta-\cos3\theta,\ 3\sin\theta-\sin3\theta)
  • (2)
    dydx=−cos⁡2θsin⁡2θ\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos2\theta}{\sin2\theta}, d2ydx2=−124sin⁡3θcos⁡4θ\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac1{24\sin^3\theta\cos^4\theta}
  • (3)
    x=2x=\sqrt{2} で極大値 222\sqrt{2}（極小値・変曲点なし）
  • (4)
    S=3πS=3\pi

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

固定円の半径は2、小円の半径は1である。中心が角 θ\theta 進む間、固定円上の接触弧の長さは 2θ2\theta。滑らないので、小円の接触半径に対する回転角は 2θ2\theta、接触半径そのものの向きの変化が θ\theta だから、初めの半径 MPMP の回転角は 3θ3\theta となる。
(1) 従って M=(3cos⁡θ,3sin⁡θ)M=(3\cos\theta,3\sin\theta) に対し
P=(3cos⁡θ+cos⁡3θ,3sin⁡θ+sin⁡3θ).P=(3\cos\theta+\cos3\theta,3\sin\theta+\sin3\theta).
PQPQ は直径なので MQ→=−MP→\overrightarrow{MQ}=-\overrightarrow{MP}。よって
Q=(3cos⁡θ−cos⁡3θ,3sin⁡θ−sin⁡3θ).\boxed{Q=(3\cos\theta-\cos3\theta,3\sin\theta-\sin3\theta)}.
(2) 三倍角公式から x=f(θ)=4cos⁡3θx=f(\theta)=4\cos^3\theta、y=g(θ)=6sin⁡θ−4sin⁡3θy=g(\theta)=6\sin\theta-4\sin^3\theta。従って
f′=−12sin⁡θcos⁡2θ<0,g′=6cos⁡θcos⁡2θ,f'=-12\sin\theta\cos^2\theta<0,\qquad g'=6\cos\theta\cos2\theta,
dydx=−cos⁡2θsin⁡2θ,d2ydx2=1f′2sin⁡22θ=−124sin⁡3θcos⁡4θ.\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos2\theta}{\sin2\theta}},\qquad \boxed{\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f'}\frac{2}{\sin^22\theta}=-\frac{1}{24\sin^3\theta\cos^4\theta}}.
(3) xx は4から0へ単調減少し、0≦x≦40\leqq x\leqq4 を満たす各 xx に yy が一意に対応する。dy/dxdy/dx の符号は 0<x<20<x<\sqrt2 で正、2<x<4\sqrt2<x<4 で負。従って極大は (2,22)(\sqrt2,2\sqrt2)、内部に極小点はない。全区間の最小値は x=4x=4 で0。二階導関数が負なので全体で上に凸、変曲点はない。両端の接線は鉛直となる。

(4) I=∫0π/2sin⁡2θcos⁡2θ dθI=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta は、半角公式より I=π/16I=\pi/16。
J=∫0π/2sin⁡4θcos⁡2θ dθJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\cos^2\theta\,d\theta とすると、θ=π/2−t\theta=\pi/2-t の置換で J=∫0π/2cos⁡4tsin⁡2t dtJ=\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin^2t\,dt。両式を加えれば 2J=I2J=I、よって J=π/32J=\pi/32。面積は
S=−∫0π/2g(θ)f′(θ) dθ=72I−48J=3π.\begin{aligned} S&=-\int_0^{\pi/2}g(\theta)f'(\theta)\,d\theta\\ &=72I-48J=\boxed{3\pi}. \end{aligned}
x軸・y軸と原点Oのあるグラフで、両軸の正方向に矢印がある。青い曲線はy軸の2から上がり、黒丸(√2,2√2)で山になって下がり、x軸の4に達する。山からx軸へ縦の破線が下りている。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 媒介変数表示
  • 二階微分
  • 対称置換

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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