3熊本大学 2026年 数学 第3問解答・解説

まず $q=\vec a\cdot\vec b$ とおくと，$x^2=|\vec a-\vec b|^2=2-2q$ より $q=1-\frac{x^2}{2}$ である。また，$\vec c\cdot\vec a=\vec c\cdot\vec b=3\cos\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$ である。
（問1）$\overrightarrow{OD}=s\vec a+t\vec b$ とおく。$CD$ は平面 $OAB$ に垂直なので，$(\vec c-\overrightarrow{OD})\cdot\vec a=(\vec c-\overrightarrow{OD})\cdot\vec b=0$。したがって $s+qt=\frac{3}{2},\ qs+t=\frac{3}{2}$ である。$x>0$ より $q\ne1$ だから，この二式の差から $s=t$ を得る。さらに $(1+q)s=\frac{3}{2}$，かつ $1+q=\frac{4-x^2}{2}$ より $s=t=\frac{3}{4-x^2}$。よって $\overrightarrow{OD}=\frac{3}{4-x^2}(\vec a+\vec b)$。
（問2）$|\vec a+\vec b|^2=2+2q=4-x^2$ なので，$OD^2=\frac{9}{4-x^2}$。$CD\perp OAB$ より $CD^2=OC^2-OD^2=9-\frac{9}{4-x^2}=\frac{9(3-x^2)}{4-x^2}$。$M$ を $AB$ の中点とすると，$OM\perp AB$ であり，$OM^2=OA^2-AM^2=1-\frac{x^2}{4}=\frac{4-x^2}{4}$。したがって $\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2}x\cdot OM=\frac{x}{4}\sqrt{4-x^2}$，また $CD=3\sqrt{\frac{3-x^2}{4-x^2}}$ である。よって四面体の体積は $V=\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{4}\sqrt{4-x^2}\cdot3\sqrt{\frac{3-x^2}{4-x^2}}=\frac{x}{4}\sqrt{3-x^2}$。
（問3）$P$ は $PA=PB$ を満たすから，$\overrightarrow{OP}$ は $AB$ の垂直二等分線の方向にあり，$\overrightarrow{OP}=u(\vec a+\vec b)$ とおける。さらに $PO=PA$ より $\overrightarrow{OP}\cdot\vec a=\frac{OA^2}{2}=\frac{1}{2}$ である。したがって $u(1+q)=\frac{1}{2}$，すなわち $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4-x^2}(\vec a+\vec b)$。問1の結果から $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OD}=-\frac{2}{4-x^2}(\vec a+\vec b)$ なので，$DP^2=\frac{4}{4-x^2}$。条件 $DP=\frac{5}{3}$ を用いると $\frac{4}{4-x^2}=\frac{25}{9}$，よって $x^2=\frac{64}{25}$。$x>0$ かつ $\frac{8}{5}<\sqrt{3}$ だから，求める値は $x=\frac{8}{5}$ である。