2熊本大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$m$ を2以上の整数として、毎回 $\frac{1}{m}$ の確率で当たりの出るくじを $n$ 回引く。このとき、1回も当たりを引かない確率を $p_{m,n}$ とする。以下の問いに答えよ。ただし、
$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,\qquad 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
であることを用いてよい。

(問1) $p_{m,n}$ を $m,n$ を用いて表せ。

(問2) $p_{25,n}<0.1$ となる最小の $n$ を求めよ。

(問3) $\displaystyle \lim_{m\to\infty}p_{m,2m}$ を求めよ。ただし、$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=e$（自然対数の底）を用いてよい。