4熊本大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(問1) $(m,n)=(2,2)$ とすると，$mn+2=2\cdot2+2=6$ であり，${}_{m+n}\mathrm{C}_{m}={}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$ だから，条件を満たす。
(問2) $m\leqq n$ を満たす正の整数 $m,n$ が条件を満たすとする。
まず $m=1$ ならば ${}_{m+n}\mathrm{C}_{m}={}_{n+1}\mathrm{C}_{1}=n+1$ である一方，$mn+2=n+2$ となるので，条件を満たさない。
次に $m=2$ ならば，条件は
$${}_{n+2}\mathrm{C}_{2}=2n+2,\qquad \frac{(n+2)(n+1)}{2}=2n+2$$となる。よって
$$(n+2)(n+1)=4n+4\quad\text{すなわち}\quad (n-2)(n+1)=0.$$
$n$ は正の整数だから $n=2$ であり，このとき実際に条件を満たす。
最後に $m\geqq3$ と仮定する。このとき $n\geqq m\geqq3$ である。$N=m+n$ とおくと，$m\leqq N/2$ である。また，$3\leqq k\leqq m-1$ では
$$\frac{{}_{N}\mathrm{C}_{k+1}}{{}_{N}\mathrm{C}_{k}}=\frac{N-k}{k+1}\geqq1$$
であるから，二項係数はこの範囲で減少せず，${}_{N}\mathrm{C}_{m}\geqq{}_{N}\mathrm{C}_{3}$ となる。さらに $N=m+n\geqq n+3$ より ${}_{N}\mathrm{C}_{3}\geqq{}_{n+3}\mathrm{C}_{3}$ である。したがって
$${}_{m+n}\mathrm{C}_{m}\geqq{}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}>n^2+2\geqq mn+2.$$
ここで，真ん中の不等式は
$$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}-(n^2+2)=\frac{n^3+11n-6}{6}>0$$
による。また最後の不等式は $m\leqq n$ による。これは条件 ${}_{m+n}\mathrm{C}_{m}=mn+2$ に反するので，$m\geqq3$ の場合はない。以上より，条件を満たす正の整数の組は $(m,n)=(2,2)$ に限る。