2熊本大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(問1)

$0\leqq x\leqq1$ では $0\leqq\frac{\pi x}2\leqq\frac\pi2$ なので、$\sin\frac{\pi x}2$ は $0$ から $1$ まで増加する。よって、$f(x)\leqq\sqrt{1+1}=\sqrt2$ で、$x=1$ において等号。

(問2)

$h(x)=\sin\frac{\pi x}2-x$ とおくと、$h(0)=h(1)=0$、$h''(x)=-\frac{\pi^2}4\sin\frac{\pi x}2\leqq0$。
したがって、$h$ のグラフは両端を結ぶ弦より上にあり、$h(x)\geqq0$、すなわち $\sin\frac{\pi x}2\geqq x$。
両辺は非負なので、$f(x)^2=1+\sin^2\frac{\pi x}2\geqq1+x^2\geqq2x^2$（最後は $x^2\leqq1$）。
平方根をとって、$f(x)\geqq\sqrt2x$。

(問3)

問1・問2から、$(\sqrt2x)^n\leqq\{f(x)\}^n\leqq(\sqrt2)^n$。
$0$ から $1$ まで積分して、$\frac{(\sqrt2)^n}{n+1}\leqq a_n\leqq(\sqrt2)^n$。
$n$ 乗根をとると、$\frac{\sqrt2}{\sqrt[n]{n+1}}\leqq\sqrt[n]{a_n}\leqq\sqrt2$。
与えられた極限 $\frac{\log(n+1)}n\to0$ より、$\sqrt[n]{n+1}=e^{\frac{\log(n+1)}n}\to1$。
はさみうちにより、求める極限は $\sqrt2$。