金沢大学 2026年数学第1問解答・解説

1問題

金沢大学2026年度第1問

f(x)=e^{\dfrac{1}{x}}

（

x>0

）とし、

\mathrm{O}

を原点とする座標平面上の曲線

y=f(x)

を

C

とする。曲線

C

上の点

\mathrm{P}(t,\,f(t))

における

C

の接線を

\ell

とし、

\ell

と

x

軸との交点を

\mathrm{A}

、

\ell

と

y

軸との交点を

\mathrm{B}

とする。次の問いに答えよ。

(1)

\ell

の方程式を

t

を用いて表せ。

(2)

\mathrm{A}

と

\mathrm{B}

の座標を

t

を用いて表せ。

(3)

\mathrm{P}

が

C

上を動くとき、

\triangle\mathrm{OAB}

の面積

S

の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\text{(1) }\ell:\ y-e^{1/t}=-\frac{e^{1/t}}{t^2}(x-t),\quad y=-\frac{e^{1/t}}{t^2}x+e^{1/t}\left(1+\frac1t\right).$

$\text{(2) }A=(t(t+1),0),\quad B=\left(0,e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)\right).$

$\text{(3) }S=\frac12e^{1/t}(t+1)^2,\quad S'(t)=\frac12e^{1/t}\frac{(t+1)(2t+1)(t-1)}{t^2}$ 。よって $t=1$ で最小となり、最小値は $2e$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

接線の傾きから直線を求め、座標軸との交点を代入で計算する。面積をtの関数に整理し、その導関数の因数分解と符号で最小値を決める。

解答

t>0

である。
(1)

f'(x)=e^{1/x}\left(-\frac1{x^2}\right)=-\frac{e^{1/x}}{x^2}

より、

P(t,e^{1/t})

における接線は

y-e^{1/t}=-\frac{e^{1/t}}{t^2}(x-t)

、
すなわち

y=-\frac{e^{1/t}}{t^2}x+e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)

。
(2)

y=0

とおくと

x=t^2\left(1+\frac1t\right)=t(t+1)

なので

A=(t(t+1),0)

。また、

x=0

とおくと

B=\left(0,e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)\right)

。
(3) OAB は O を直角の頂点とする三角形だから、

S=\frac12t(t+1)e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)=\frac12e^{1/t}(t+1)^2

。
これを微分すると

S'(t)=\frac12e^{1/t}\left(2(t+1)-\frac{(t+1)^2}{t^2}\right)=\frac12e^{1/t}\frac{(t+1)(2t+1)(t-1)}{t^2}

。

t>0

では

e^{1/t},t+1,2t+1,t^2

はすべて正なので、

S'(t)<0\ (0<t<1),\quad S'(t)>0\ (t>1)

。よって

S

は

t=1

で最小となる。

S(1)=\frac12e\cdot2^2=2e

だから、求める最小値は

2e

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

合成関数の微分
指数・対数関数の微分
曲線の接線
積の微分
導関数と増減

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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考え方

解答

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