3和歌山県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

絶対値を含む関数を 3 本の一次関数に分け、直線との交点を各枝の定義域に照らして数える。囲まれた面積は三角形に分けて式にし、微分の符号で最小を決める。

(1)

絶対値の中身の符号で場合分けすると、
$$f(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0),\\ 1-x & (0\leqq x\leqq2),\\ x-3 & (x>2) \end{cases}$$
である。したがって $C$ は点 $(0,1)$ と $(2,-1)$ を折れ点とする折れ線である。各区間の直線を延長した概形を次に示す。

(2)

各区間で $f(x)=ax$ を解く。$x<0$ の枝の解は $x=\dfrac{1}{a-1}$ であり、$a<1$ のときに限りこの枝上にある。$0\leqq x\leqq2$ の枝の解は $x=\dfrac{1}{a+1}$ であり、$a\geqq-\dfrac{1}{2}$ のときに限りこの区間にある。$x>2$ の枝の解は $x=\dfrac{3}{1-a}$ であり、$-\dfrac{1}{2}<a<1$ のときに限りこの枝上にある。
$a=-\dfrac{1}{2}$ では中央の枝の解が折れ点 $x=2$ となり、右の枝の延長も同じ点を通るが、共有点は一つと数える。以上より、共有点の個数は
$$\begin{cases} 1 & \left(a<-\dfrac{1}{2}\right),\\ 2 & \left(a=-\dfrac{1}{2}\right),\\ 3 & \left(-\dfrac{1}{2}<a<1\right),\\ 1 & (a\geqq1) \end{cases}$$
である。

(3)

共有点が 2 個以上となる範囲は $-\dfrac{1}{2}\leqq a<1$ である。この範囲では交点の $x$ 座標を小さい順に
$$x_{L}=-\dfrac{1}{1-a},\qquad x_{M}=\dfrac{1}{1+a},\qquad x_{R}=\dfrac{3}{1-a}$$
と表せ、$x_{L}\leqq0\leqq x_{M}\leqq2\leqq x_{R}$ である。$a=-\dfrac{1}{2}$ のときは $x_{M}=x_{R}=2$ となる。

左の枝の交点から $x=0$ までの三角形の面積は $\dfrac{1}{2(1-a)}$、$x=0$ から中央の枝の交点までの三角形の面積は $\dfrac{1}{2(1+a)}$ である。中央の交点から $x=2$ まで、および $x=2$ から右の枝の交点までの三角形の面積は、それぞれ $\dfrac{(1+2a)^{2}}{2(1+a)}$、$\dfrac{(1+2a)^{2}}{2(1-a)}$ となる。これらを合計して
$$S(a)=\dfrac{1}{2(1-a)}+\dfrac{1}{2(1+a)}+\dfrac{(1+2a)^{2}}{2(1+a)}+\dfrac{(1+2a)^{2}}{2(1-a)}=\dfrac{1+(1+2a)^{2}}{1-a^{2}}$$
を得る。この範囲では分母は正である。商の微分により
$$S'(a)=\dfrac{4(a^{2}+3a+1)}{(1-a^{2})^{2}}$$
となる。

分子の零点は $\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$ と $\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ である。前者は範囲外であり、後者を $a_{0}$ とおくと、$S'(a)<0$ は $-\dfrac{1}{2}\leqq a<a_{0}$ で、$S'(a)>0$ は $a_{0}<a<1$ である。したがって $a=a_{0}=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ のとき最小となる。
ここで
$$1+2a_{0}=\sqrt{5}-2,\qquad 1-a_{0}^{2}=\dfrac{3\sqrt{5}-5}{2}$$
より
$$S(a_{0})=\dfrac{1+(\sqrt{5}-2)^{2}}{(3\sqrt{5}-5)/2}=\sqrt{5}-1$$
を得る。