2金沢大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$\mathrm{P}(a,\,b,\,2)$、$\mathrm{Q}(x,\,y,\,0)$とする。線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{X}$は、$0\leqq t\leqq1$を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\left(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right)$$
と表せる。その$z$座標は$2-2t$である。平面$z=1$と交わるのは$t=\dfrac{1}{2}$のときで、交点の座標は
$$\left(\dfrac{a+x}{2},\,\dfrac{b+y}{2},\,1\right)$$
である。したがって、線分$\mathrm{PQ}$が円板$B$と共有点をもつ必要十分条件は
$$\left(\dfrac{a+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{b+y}{2}\right)^{2}\leqq1,$$
すなわち$(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\leqq4$である。

(1)

$\mathrm{P}$の座標が$(0,\,0,\,2)$なので$a=b=0$である。よって、$D$は
$$x^{2}+y^{2}\leqq4$$
を満たす領域である。これは$xy$平面上で中心$(0,\,0)$、半径2の円板（境界を含む）である。

(2)

$\mathrm{P}$の座標が$(r,\,0,\,2)$なので$a=r$、$b=0$である。よって、$D$は
$$(x+r)^{2}+y^{2}\leqq4$$
を満たす領域である。これは中心$(-r,\,0)$、半径2の円板（境界を含む）である。

(3)

$\mathrm{P}(a,\,b,\,2)$は$a^{2}+b^{2}=r^{2}$上を動く。固定した$\mathrm{Q}(x,\,y,\,0)$とこの円周上の$\mathrm{P}$について、水平距離の最小値を考える。$\mathrm{Q}$の原点からの距離を$\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$とし、$\mathrm{P}$の水平位置の原点を中心とする極角を$\phi$（$\mathrm{Q}$の方向と$\mathrm{P}$の方向の角度差）とすると、
$$(x+a)^{2}+(y+b)^{2}=\rho^{2}+r^{2}+2r\rho\cos\phi$$
である。$\mathrm{P}$を円周全体で動かしたときの最小値は$\cos\phi=-1$で得られ、水平距離の最小値は$|\rho-r|$となる。したがって、ある$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}$が$D$に含まれる条件は
$$|\rho-r|\leqq2$$
である。$r>2$より、$D$が通過する領域は半径$r-2$と$r+2$の円にはさまれた環状領域
$$r-2\leqq\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leqq r+2$$
である。境界も含まれるので、面積は
$$\pi(r+2)^{2}-\pi(r-2)^{2}=8\pi r$$
となる。