3金沢大学 2023年 数学 第3問解答・解説

赤玉の所在だけに注目し、n回目の交換終了後に赤玉がAにある確率について漸化式を立てて解く。

【追加仮定】各回、その時点で箱Bに入っている $K$ 個の玉から、どの玉も等確率となるように1個を選ぶと仮定します。

赤玉は全体で1個だけなので、その所在だけを追う。$n$ 回目の交換後に赤玉がAにある確率を $p_n$ とする。初めは赤玉がAにあるから $p_0=1$。

交換後に赤玉がAにあるためには、交換前に赤玉がBにあり、かつBの $K$ 個から赤玉を選ぶ必要がある。交換前に赤玉がBにある確率は $1-p_n$ で、Bから赤玉を選ぶ確率は $1/K$ だから、$$p_{n+1}=\frac{1-p_n}{K}.$$

定常値 $p_*$ は $p_*=(1-p_*)/K$ を満たすので $p_*=1/(K+1)$。したがって $p_{n+1}-p_* = -(p_n-p_*)/K$ である。初期値 $p_0=1$ を用いると、$$p_n-p_*=\left(-\frac1K\right)^n(p_0-p_*)=\left(-\frac1K\right)^n\frac{K}{K+1}.$$

よって、$$\boxed{p_n=\frac{1}{K+1}+\frac{K}{K+1}\left(-\frac1K\right)^n}\quad(n=1,2,\ldots).$$