3鹿児島大学 2025年 数学 第3問解答・解説

次の3-1、3-2、3-3から1題を選択して解答せよ。
3-1 初項を $a_1=1,\ b_1=3$ とし、次の条件によって定められる数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を考える。
$$a_{n+1}=(1-2\cdot3^{n-1})a_n+3^{n-1}b_n\quad(n=1,2,3,\cdots)$$
$$b_{n+1}=-4\cdot3^{n-1}a_n+(2\cdot3^{n-1}+1)b_n\quad(n=1,2,3,\cdots)$$

(1) 数列 $\{c_n\}$ を $c_n=-2a_n+b_n$ で定める。このとき、$c_{n+1}=c_n\ (n=1,2,3,\cdots)$ が成り立つことを示せ。
(2) $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおくとき、数列 $\{d_n\}$ の一般項を求めよ。
(3) 数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の一般項を求めよ。
3-2 座標空間において、点 $(0,0,1)$ を中心とする半径1の球 $S$ と、点 $(0,0,2)$ を通り $z$ 軸に垂直な平面 $\alpha$ と、点 $F(0,1,0)$ がある。
(1) 点 $A$ を球 $S$ 上の点とする。直線 $FA$ と平面 $\alpha$ との交点を $A'$ とする。$A$ の $z$ 座標が $k$ であるとき、
$$\overrightarrow{FA'}=\dfrac{2}{k}\overrightarrow{FA}$$
となることを示せ。ただし、$k\neq0$ とする。
(2) 球 $S$ 上に2点 $B\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)$ と $C(1,0,1)$ をとる。直線 $FB$ と平面 $\alpha$ との交点を $B'$、直線 $FC$ と平面 $\alpha$ との交点を $C'$ とする。$B',C'$ の座標を求めよ。
(3) 2点 $B',C'$ を (2) で定めた点とする。点 $P$ は平面 $\alpha$ 上を動き、
$$\overrightarrow{PB'}\quad\text{と}\quad\overrightarrow{PC'}$$
が垂直になるとき、点 $P$ の軌跡を求めよ。ただし、$\overrightarrow{PB'}\neq\vec{0},\ \overrightarrow{PC'}\neq\vec{0}$ とする。
3－3　 $A$ と $B$ があるゲームを繰り返し行い、先に3回勝った方を優勝とする。第1ゲームでは $A$ が先攻とし、それ以降は先攻と後攻を交互に入れかえてゲームを行う。各ゲームでは引き分けはなく、必ず勝敗がつくとする。各ゲームで $A$ が $B$ に勝つ確率は、$A$ が先攻のとき $\dfrac{2}{3}$、後攻のとき $\dfrac{1}{2}$ とする。
(1) 第3ゲームで優勝が決まる確率を求めよ。
(2) 第5ゲームで優勝が決まる確率を求めよ。
(3) $B$ が優勝する確率を求めよ。