5鹿児島大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$e$ を自然対数の底とし、
$$f(x)=\dfrac{e^{x}-2e^{-2x}}{e^{x}+e^{-2x}}$$
とおく。座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$ における接線を $l$ とする。また、$l$ と直線 $y=1$ との交点を $(a,1)$ とする。
(1) 接線 $l$ の方程式と、$a$ の値を求めよ。
(2) (1)で求めた接線 $l$ の方程式を $y=g(x)$ とおく。$x>0$ のとき、$f(x)<g(x)$ であることを示せ。
(3) 曲線 $C$、接線 $l$ および直線 $x=a$ で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めよ。
(4) 実数 $r$ は $r>a$ を満たすとする。曲線 $C$、直線 $y=1$、$x=a$ および $x=r$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とする。(3)で定めた $S_1$ を用いて $S(r)=S_1+S_2$ と定めるとき、$S(r)$ を求めよ。さらに、$\displaystyle \lim_{r\to\infty}S(r)$ を求めよ。